Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ với $k \geq p$

Đáp án đúng là: B. $k \geq p$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đối với bài toán chứng minh $P(n)$ đúng với mọi $n \geq p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=p$.

- Bước 2: Với $k \geq p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P(n)$ đúng với $n=k$, chứng minh $P(n)$ cũng đúng khi $n=k+1$

Từ đó ta thấy ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=p$ chứ không phải $n=1$.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n= k $ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n= k +1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án A : sai vì $Q \subset N^*$ chứ không phải $N^* \subset Q$, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.

Đáp án B: sai theo giả thiết (2), thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q.

Đáp án C: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.

Vậy C đúng

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với $n=p$ ( với p là số tự nhiên, thường là p=1 ) 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k≥1$giả thiết quy nạp)

Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = \dfrac{5}{4}\\\n{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}(n \ge 1)\n\end{array} \right.$

Ta có: 

${u_2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}},{u_3} = \dfrac{{{2^4} + 1}}{{{2^4}}},{u_4} = \dfrac{{33}}{{32}} = \dfrac{{{2^5} + 1}}{{{2^5}}},...$Dự đoán :${u_n} = \dfrac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}(\forall n \ge 1)$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Với $n = 1:{u_1} = \dfrac{5}{4}$(đúng).

Giả sử mệnh đề đúng với $n = k(k \ge 1):{u_k} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Ta cần chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh: ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 2}} + 1}}{{{2^{k + 2}}}}$

Thật vậy, ta có: ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \left( {\dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} + 1} \right).\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{2^{k + 2}} + 1}}{{{2^{k + 2}}}}$

Vậy: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}(\forall n \ge 1)$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo định nghĩa , bước 1 của phương pháp quy nạp có thể là một trong hai cách :

- Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n=1$ 

- Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n=p(p \in {\mathbb{N}^*})$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với n=1 : Tổng của dãy là 1 

n=2 => S= 4 ; n=3 => S= 9 

Dự đoán tổng của dãy là $n^2$.

$1+3+5+...+(2n-1)=n^2(1)$

Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp/

Kiểm tra khi n=1 : mệnh đề (1) trở thành : $1=1^2=1$ đúng

Giả sử mệnh đề (1) đúng khi $n=k \geq 1$ tức là:

$S_k=1+3+5+...+(2k-1)=k^2$( giả thiết quy nạp) 

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh: 

$S_{k+1}=1+3+5+...+(2k+1)=(k+1)^2$.

Thật vậy: $S_{k+1}=S_k+2[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2$

Vậy mệnh đề (1) đúng 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với n=1 => S= 1

n=2 => S= 9 ; n=3 => S= 36

Dự đoán tổng của dãy  trên là $\dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$.

$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$$(*)$

Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Xét với $n=1$, ta có VT=VP => Mệnh đề đúng

Giả sử (*) đúng với $n=k(k \geq 1)$, khi đó ta có: 

$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}$(**)

Ta cần chứng minh ( **) đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh: 

$1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=\dfrac{{{(k+1)^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$

Ta có VT ( **) = $1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}+(k+1)^3$

=$\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2} + 4{{(k + 1)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{\rm{[}}{{\rm{k}}^2}{\rm{ + 4(k + 1)]}}}}{4} = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} = VP(**)$

Vậy (**) đúng với n=k+1

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dãy số trên là dãy số giảm dần về -1 => loại đáp án C, D 

Mỗi số hạng chỉ có 1 phần tử => loại B

Đáp án A đúng khi thay các trường hợp $n=1;2;3;4;5$ vào dãy số

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thay $n=20$ vào , ta xác định được giá trị cần tìm :

$u_{20}=2.3^{20}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $a=0$ dãy số luôn không đổi => Loại C, D

Thay $n+1$ vào dãy số => Ta chọn đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo dãy số đã cho, ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: $U_n=5n$

Với $n=1$ ( đúng ) 

Giả sử giả thiết đúng với $n=k$ , tức là $U_k=5k$

Ta cần chứng minh dãy số đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh $U_k=5(k+1)$

Thật vậy: $U_{k+1}=5(k+1)=5k+5=U_k+k$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $n=1;2;3;4;...$ ta thấy $n^3+11n \vdots 6$

Giả sử $n^3+11n \vdots 6$ 

Xét $n=1$ ( đúng) 

Giả sử khẳng định trên đúng với $n=k(k \geq 1) $, ta cần chứng minh đúng đến $n=k+1$, tức là chứng minh: 

 $(k+1)^3+11(k+1)=k^3+11k+3k^2+3k+12 \vdots 6$

$<=>3k^2+3k+12 \vdots 6$

Do $3k^2+3k$ luôn là số chẵn => $3k^2+3k \vdots 2$ mà $3k^2+3k \vdots 3$

=> $3k^2+3k \vdots 6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta phân tích tổng trên: 

${S_n} = \dfrac{1}{4}(1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{13}} + ... - \dfrac{1}{{4n - 1}} + \dfrac{1}{{4n - 1}} - \dfrac{1}{{4n + 1}}) = \dfrac{1}{4}(1 - \dfrac{1}{{4n + 1}}) = \dfrac{n}{{4n + 1}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=1;2$ mệnh đề sai 

=> Khi $n=3;4;5;...$ mệnh đề đúng 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=1;2;3;4;..$ , ta giả sử công thức của tổng trên là $\dfrac{1}{2}({3^{n + 1}} - 3)$

Ta sẽ chứng minh giả sử trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k(k \geq 1)$ , ta cần chứng minh mệnh đề trên cũng đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh:

$S_{k+1}=\dfrac{1}{2}({3^{k + 2}} - 3)$

Thật vậy: $S_{k+1}=$$\dfrac{1}{2}({3^{k + 1}} - 3)+3^{k+1}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét với $n=1;2;3$ ta thấy chỉ có mệnh đề A thỏa mãn 

Ta chứng minh mệnh đề trên đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Với $n=1$ ( đúng) 

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k(k \geq 1)$ tức là : $3^{2k}-1 \vdots 8$

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng đến $n=k+1$, tức là chứng minh : $3^{2k+2}-1 \vdots 8$

Thật vậy : $3^{2k+2}-1=(3^{2k}-1).8+3^{2k}-1+8 \vdots 8$