Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${u_{n + 1}} = {u_n} + {\left( { - 1} \right)^{2n+1}} = {u_n} - 1 \Rightarrow {u_2} = 0;{u_3} = -1;{u_4} = -2$

Dễ dàng dự đoán được $u_n=2-n$

Chứng minh được $u_n=2-n(*)$ bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với $n = 1 \Rightarrow {u_1} = 1$ . Vậy $(*)$ đúng với $n=1$

+ Giả sử $(*)$ đúng với $\forall n = k\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có $u_k=2-k$. Ta cần chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$ tức là $u_{k+1}=1-k$

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $(u_n)$ ta có $u_{k+1}=u_k+(-1)^{2k+1}=1-k$. Vậy $(*)$ luôn đúng

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = \dfrac{1}{2}\\\n{u_{n + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_n}}}\n\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{3}{4};{u_4} = \dfrac{4}{5}$

Dự đoán được ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}$

Chứng minh được ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}(*)$ bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với $n = 1 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{1}{2}$ . Vậy $(*)$ đúng với $n=1$

+ Giả sử $(*)$ đúng với $\forall n = k\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có $u_k=\dfrac{k}{k+1}$. Ta cần chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$ tức là $u_{k+1}=\dfrac{k+1}{k+2}$

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $(u_n)$ ta có ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{{2 - {u_k}}} = \dfrac{1}{{2 - \dfrac{k}{{k + 1}}}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$. Vậy $(*)$ luôn đúng

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có  $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = - 1\\\n{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\n\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = 0;{u_3} = 3;{u_4} = 8$

Dự đoán được ${u_n} = - 1 + {\left( {n - 1} \right)^2}$

Chứng minh được ${u_n} = - 1 + {\left( {n - 1} \right)^2}(*)$ bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với $n = 1 \Rightarrow {u_1} = -1$ . Vậy $(*)$ đúng với $n=1$

+ Giả sử $(*)$ đúng với $\forall n = k\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có ${u_k} = - 1 + {\left( {k - 1} \right)^2}$. Ta cần chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$ tức là $u_{k+1}=-1+k^2$

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số $(u_n)$ ta có ${u_{k + 1}} = {u_k} + 2k - 1 = - 1 + {\left( {k - 1} \right)^2} + 2k - 1 = - 1 + {k^2}$. Vậy $(*)$ luôn đúng

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét phương án A

+ $(*)$ đúng với $n=1$

+ Giả sử $(*)$ đúng với $\forall n = k\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có $1 + 3 + 5 + ... + \left( {2k - 1} \right) = {k^2}$. Ta cần chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$ tức là $1 + 3 + 5 + ... + \left( {2k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^2}$

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định ta có $1 + 3 + 5 + ... + \left( {2k - 1} \right) = {k^2} \Rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + \left( {2k - 1} \right) + \left( {2k + 1} \right) = {k^2} + 2k + 1 = {\left( {k + 1} \right)^2}$. Vậy $(*)$ luôn đúng

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương pháp quy nạp toán học: 

- Bước 1: Chứng minh $P(n)$ đúng với $n= 1$.

- Bước 2: Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P(n)$ đúng với $n=k$, chứng minh $P(n)$ cũng đúng khi $n= k+1$

Do đó ta thấy ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n= k+1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+2$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Quan sát lời giải trên ta thấy :

Học sinh thực hiện thiếu bước 1: Kiểm tra $n=1$ thì $8^{1}+1=9$ không chia hết cho 7 nên mệnh đề đó sai.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được $7^n+5$ chia hết cho 6

Thật vậy, với $n=1$ ta có: $7^1+5$ chia hết cho 6.

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, nghĩa là $7^k+5$ chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh $7^{k+1}+5$ chia hết cho 6.

Ta có: $7^{k+1}+5=7(7^k+5)-30$

Theo giả thiết quy nạp , ta có $7^k+5$ chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên $7(7^k+5)-30$ cũng chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề đúng với $n=k+1$.

Vậy $7^n+5$ chia hết cho 6 với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Mọi số chia hết cho  6 đều chia hết cho 2 và cho 3.

Do đó có 3 mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=0$ ta có: $S=1$

Với $n=1$ ta có: $S=1-2+3=2$

Với $n=2$ ta có: $S=1-2+3-4+5=3$

Dự đoán $S=n+1(*),$ ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng quy nạp,

Với $n=0$ đương nhiên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với $n=k$, tức là ${S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + (2k - 1) = k + 1$ , ta chứng minh (*) đúng với $n=k+1$.

Ta có: $\n{S_{k + 1 = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2(k + 1) + (2(k + 1) + 1) = (1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1) - (2k + 2) + (2k + 3) = {S_K} - (2k + 2) + (2k + 3) = k + 1}}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n,$ tức là $S=n+1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Rút gọn $S_n$ dựa vào việc phân tích phần tử đại diện

$kk! = (k + 1 - 1).k! = (k + 1)k! - k! = (k + 1)! - k!.$ Suy ra :

${S_n} = (2! - 1!) + (3! - 2!) + ... + ((n + 1)! - n!) = (n + 1)! - 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được 

${S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 1)}}= \dfrac{n}{{n + 1}}(*)$.

Thật vậy, với $n=1$ ta có: ${S_1} = \dfrac{1}{{1.2}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{1 + 1}}$

Giả sử (*) đúng đến $n=k(k \geq 1)$, khi đó ta có:

${S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k(k + 1)}}= \dfrac{k}{{k + 1}}$, ta chứng minh (*) đúng đến $n=k+1$, tức là cần chứng minh:

${S_{k+1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{(k+1)(k + 2)}}= \dfrac{k+1}{{k + 2}}$

Ta có: ${S_{k+1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{(k+1)(k + 2)}}= \dfrac{k+1}{{k + 2}}=\n\n\dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{(k + 1)(k + 2)}} = \dfrac{{k(k + 2) + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \dfrac{{{k^2} + 2k + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=1$ ta có: $({13^1} - 1)=12 \vdots 12$, ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh $(13^n-1) \vdots 12$ với mọi 

$n \in {\mathbb{N}^*}$ .

Giả sử khẳng định trên đúng đến $n=k(k \geq 1)$ , tức là $(13^k-1) \vdots 12$ ta chứng minh đúng đến $n=k+1$, tức là $13^{k+1}-1 \vdots 12$

Ta có:

$\n{13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = {13.13^k} - 13 + 12 = 13({13^k} - 1) + 12$

Theo giả thiết quy nạp, ta có: $(13^k-1) \vdots 12$ nên $13(13^k-1)+12 \vdots12 =>(13^{k-1} -1) \vdots 12$

Vậy : $({13^n} - 1) \vdots 12$ $n \in {\mathbb{N}^*}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

 Với $n=1;2;3$ : $3^n < 2^n +7n$ => loại 

Với $n=4$ : $3^n>2^n+7n$ ( đúng ) 

Giả sử mệnh đề đúng với mọi $n=k(k \geq 4)$ , khi đó ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$,

tức là chứng minh :

$3^{n+1}>2^{n+1}+7(n+1)$ 

$< = > {3.3^n} > 3.({2^n} + 7n) - {2^n} - 14n + 7$

Biểu thức trên luôn đúng do : ${3.3^n} > 3.({2^n} + 7n)$    và $0>- {2^n} - 14n + 7$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta tìm một số giá trị của công thức này với $S(n)$ là số đường chéo của đa giác $n$ cạnh.

Từ bảng trên ta đưa ra giả thiết quy nạp

$S(n)=\dfrac{n(n-3)}2(1)$

Ta sẽ chứng minh (1) đúng bằng phương pháp quy nạp toán học theo $n$.

Cở sở quy nạp:  Với $n=4$, ta thấy tứ giác có hai đường chéo( hình 2.1a) , thỏa mãn (1) đúng với $n=4$.

                                         

Bước quy nạp:

   Giả sử (1) đúng với $n=k$, nghĩa là đa giác lồi $k$ cạnh có số đường chéo là $S_k=\dfrac{{k(k - 3)}}{2}$. Ta chứng minh (1) đúng với $n=k+1$.

Thật vậy, khi thêm đỉnh thứ $k+1$ thì có thêm $k-2$ đường chéo nối từ $A_{k+1}$ tới $A_2,A_3,...A_{k-1}$( hình 2.1b), ngoài ra $A_1A_k$ cũng trở thành đường chéo. Do đó,

$S(k + 1) = S(k) + (k - 2) + 1 = \dfrac{{k(k - 3)}}{2} + k - 1 = \dfrac{{{k^2} - k - 2}}{2} = \dfrac{{(k + 1)(k - 2)}}{2}$.

Như vậy, (1) đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp, $S(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 4$.

Vậy số đường chéo trong một đa giác lồi $n$ cạnh là $\dfrac{{n(n - 3)}}{2}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả thiết mệnh đề trên đúng.

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(1) Cơ sở quy nạp. Trường hợp $n=6,7,8$ đã được giải dưới đây.

(2) Bước quy nạp.

    Ta chứng minh bài toán nếu đúng với $n=k,k \geq 6 , k \in \mathbb{N}$ thì cũng đúng với $n=k+3$. Thật vậy, ta chọn một hình vuông bất kì trong $k$ hình vuông đã có, chia nó ra làm $4$ hình vuông nhỏ hơn, khi đó số hình vuông tạo ra là $k+3$.

Như vậy bài toán thỏa mãn nguyên lý quy nạp , nên giả thiết đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=1,2 =>u_1=u_2=1$

Với $n=3=>u_3=3\\\nn=4=>u_4=6\\\nn=5=>u_5=14$

=> Với các trường hợp trên thì mọi số hạng của dãy đều thỏa mãn: $u_n=4u_{n-1}-u_{n-2}$(1)

Ta chứng minh (1) đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở quy nạp ta đã làm bằng cách xét các trường hợp ở trên

Bước quy nạp. Giả sử khẳng định trên đúng với $n=k(k \geq 3)$, tức là $u_k=4u_{k-1}-u_{k-2}$.Ta chứng minh khẳng định đúng với $n=k+1$, tức là $u_{k+1}=4u_{k}-u_{k-1}$.

Thật vậy,

$\begin{array}{l}\n{u_{k + 1}} = 4{u_k} - {u_{k - 1}}\\ < = > \frac{{u_k^2 + 2}}{{{u_{k - 1}}}} = 4{u_k} - {u_{k - 1}}\\ < = > u_k^2 + 2 = 4{u_k}{u_{k - 1}} - u_{k - 1}^2\\ < = > {(4{u_{k - 1}} - {u_{k - 2}})^2} + 2 = 4{u_{k - 1}}(4{u_{k - 1}} - {u_{k - 2}}) - u_{k - 1}^2\\ < = > u_{k - 2}^2 - 4{u_{k - 1}}{u_{k - 2}} + 2 = - u_{k - 1}^2\\ < = > u_{k - 1}^2 + 2 = {u_{k - 2}}(4{u_{k - 1}} - {u_{k - 2}})\\ < = > \frac{{u_{k - 1}^2 + 2}}{{{u_{k - 2}}}} = 4{u_{k - 1}} - {u_{k - 2}}\\ < = > {u_k} = 4{u_{k - 1}} - {u_{k - 2}}\n\end{array}$

Đẳng thức cuối này đúng theo giả thiết quy nạp. Do đó ta có:

$u_{k+1}=4u_k-u_{k-1}$.

Khẳng định trên được chứng minh.

Mặt khác có $u_1=u_2=1$ đều là số nguyên nên sử dụng phương pháp quy nạp một lần nữa kết hợp với khẳng định trên ta đi đến kết luận mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Khi $n=2$, số $A_2=17$, có chữ số tận cùng là 7. 

Giả thiết số $A_n$ luôn có chữ số tận cùng là 7 .

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Cơ sở quy nạp: $n=2$ ( đúng).

Bước quy nạp:

    Giả sử với $n=k ( k \in \mathbb{Z} , k \geq 2)$, số $A_k=2^{2^k}+1$ có chữ số tận cùng là $7$ . Ta sẽ chứng minh $A_{k+1}$ cũng có chữ số tận cùng là $7$.

Thật vậy, do $A_k=10m+7$, hay $2^{2^k}+1=10m+7$ nên $2^{2^k}=10m+6$.

Từ đó:

${A_{k + 1}} = {2^{{2^{k + 1}}}} + 1 = {2^{{2^k}.2}} + 1 = {({2^{{2^k}}})^2} + 1 = {(10m + 6)^2} + 1 = 10(10{m^2} + 12m + 3) + 7$

Nên $A_{k+1}$ cũng có chữ số tận cùng là $7$.

Vậy với mọi số nguyên $n,n \geq 2$ thì $A_n=2^{2^n}+1$ có chữ số tận cùng là $7$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thử các trường hợp với $n=1;2;3$ ta thấy $A_n=4u_nu_{n+2}+1$ cho kết quả là số chính phương. 

Giả thiết $A_n$ là số chính phương.

Và khi $n=1;2;3;4 =>u_n=1;3;6;10$ => Biểu thức $u_n$ có dạng $u_n=\dfrac{n(n+1)}2$

Ta sẽ chứng minh $u_n=\dfrac{n(n+1)}2$ với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp.

(1) Cơ sở quy nạp. Đã đúng khi $n=1;2;3;4$.

(2) Bước quy nạp.

    Giả sử khẳng định đúng với $n=k-1,n=k( k \in \mathbb{Z}, k >1)$. Ta chứng minh bài toán đúng khi $n=k+1$.

Thật vậy, theo công thức xác định $u_{k+1}$. ta có:

$u{ _{k + 1}} = 2{u_k} - {u_{k - 1}} + 1 = 2\dfrac{{k(k + 1)}}{2} - \dfrac{{(k - 1)k}}{2} + 1 = \dfrac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}$

Do đó khẳng định trên đúng với $n=k+1$.

Theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định trên đúng với mọi số nguyên  dương $n$. Như vậy, 

${A_n} = 4\frac{{n(n + 1)}}{2}.\frac{{(n + 2)(n + 3)}}{2} + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = {({n^2} + 3n + 1)^2}$.

Vậy $A_n$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $n=1 => S_n=4\\\nn=2=> S_n=20\\\nn=3=>S_n=56\\\nn=4=>S_n=120$

=> Dự đoán tổng là  $S_n=\dfrac{{2n(n + 1)(2n + 1)}}{3}$(1)

Chứng minh (1) đúng bằng phương pháp quy nạp toán học

Cơ sở quy nạp ta đã chứng minh ở trên.

Bước quy nạp.

    Giả sử (1) đúng với $n=k(k \geq 1)$ , ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh $S_{k+1}=\dfrac{(2k+2)(k+2)(2k+3)}3$

<=> $S_{k+1}=\dfrac{2k(k+1)(2k+1)}3+4n^2+8n+4=\dfrac{2k(k+1)(2k+1)}3+(2n+2)^2\\<=>S_{k+1}=S_k+(2n+2)^2$

Vậy giả thiết đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Cách 1: Cho trường hợp mẫu và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách 2:

Đặt $f(x)=2^x-2x-1(x \geq 1)$

Ta cần tìm giá trị $n$ sao cho $f(x)>0$

$f\'(x)=2^x. ln2-2>0 (x \geq 1)$

=> Hàm số đồng biến và là hàm tăng 

Ta thấy tại $x=3 =>f(x)>0$ 

Vậy với $n \geq 3$ thì $2^n>2n+1$