Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn ( 1 nhóm ở vị trí chẵn và 1 nhóm ở vị trí lẻ)

Xếp 3 nam có $3.2.1$ cách

Xếp 3 nữ có  $3.2.1$ cách

Vậy có $2 .(3.2 .1)^{2}=72$ cách xếp

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi mật khẩu bạn A là số có dạng $\overline{\text { abcdef }}$

a,b,c,d,e,f có 10 cách chọn

Vậy có $10^6=1000000$ cách chọn 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{\text { abcdef }};(a \ne 0)$ 

Do số chia hết cho 10 nên f có 1 cách chọn là số 0

a có 9 cách chọn vì a khác 0

b,c,d,e có 10 cách chọn

Vậy có $9.10^4=90000$ số 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn 1 người trong 10 người đàn ông có 10 cách

Chọn 1 người trong 9 người phụ nữ không phải là vợ của người đàn ông đã chọn 9 cách

Vậy có $10.9=90$ cách chọn

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Cứ mỗi đậu phải thi đấu với 9 đội còn lại nên có $9.10=90$ trận đấu. Tuy nhiên theo cách tính trên thì trận đội A gặp đội B 2 lần. Do đó số trận đấu thực tế diễn ra là $\dfrac{90} {2}=45$ trận

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6. Vậy có $6.3.2.2.1.1=72$ cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số chứng minh nhân dân cần tìm có dạng $\overline{187 a b c d e f}$

Khi đó a,b,c,d,e,f mỗi số có 10 cách chọn từ 0 đến 9

Nên có tất cả $10.10.10.10.10.10=10^6=1000000$ số 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 7
nên ta có các trường hợp.
TH1: a =7 khi đó số có dạng $\overline{7 b c d}$ .

Có 2 cách chọn d .Có 4 cách chọn a .Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $1.4.3.2=24$ (số).

TH2: b=7 khi đó số có dạng $\overline{a 7 c d}$.

Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).

TH3: c=7 khi đó số có dạng $\overline{a b 7 d}$ .

Có 2 cách chọn d .Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn b .
Theo quy tắc nhân có  $3.1.3.2=18$(số).

TH4: d=7 khi đó số có dạng $\overline{a b c 7}$ .

Có 4 cách chọn a (do ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $4.4.3.1=48$ (số).

Theo quy tắc cộng có $24+18+18+48=108$ số 
(số).

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 7
nên ta có các trường hợp.
TH1: a =7 khi đó số có dạng $\overline{7 b c d}$ .

Có 2 cách chọn d .Có 4 cách chọn a .Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $1.4.3.2=24$ (số).

TH2: b=7 khi đó số có dạng $\overline{a 7 c d}$.

Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).

TH3: c=7 khi đó số có dạng $\overline{a b 7 d}$ .

Có 2 cách chọn d .Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn b .
Theo quy tắc nhân có  $3.1.3.2=18$(số).

TH4: d=7 khi đó số có dạng $\overline{a b c 7}$ .

Có 4 cách chọn a (do ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $4.4.3.1=48$ (số).

Theo quy tắc cộng có $24+18+18+48=108$ số 
(số).

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số nhỏ hơn 1000  là số có 3  chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0,2,4,6,7?

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a b c}(a \neq 0, a \neq b \neq c)$ suy ra có 4 cách chọn a, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c .

Vậy có 4.4.3=48 số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0,2,4,6,7? 

Có 4.4=16 số.

TH3: Số có 1 chữ số lập từ các số 0,2,4,6,7?

Có 5 số.

Vậy có tất cả 69 số.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Một HS nữ được chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.
Một HS nam được chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.
Một HS nam còn lại được chọn từ 5 HS nam còn lại nên có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 4.5.6 = 120 cách chọn.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Biển đăng ký xe có:
Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.
Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.
Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta
có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).

Có 12 đỉnh nên có 12 cách chọn điểm đầu tiên

Có 11 cách chọn điểm thứ hai

Chọn như trên sẽ bị trùng 2 lần nên số đoạn thẳng là $\dfrac {11.12} { 2 }=66$

Số đường chéo là $66-12=54$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta lần lượt đánh số các ghế từ 1 đến 10.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí 1 thì có 9 cách xếp người vợ.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí 2 thì có 8 cách xếp người vợ.

….

Nếu người chồng ngồi ở vị trí 9 thì có 1 cách xếp người vợ.

Nếu người chồng ngồi ở vị trí 10 thì có 0 cách xếp người vợ.

Vậy có tất cả 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $x=\overline{\text { abcdef }}$ là số cần lập

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21} \\ {a+b+c=d+e+f+1}\end{array}\right.$

$\Rightarrow a+b+c=11$ Do $a, b, c \in\{1,2,3,4,5,6\}$

Suy ra ta có các cặp sau: $(a, b, c)=(1,4,6) ;(2,3,6) ;(2,4,5)$

Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a,b,c và 3! cách chọn d,e,f

Do đó có $3.3 ! .3 !=108$ số thỏa mãn điều kiện đề bài 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.
Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số
1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là : $2 . C_{7}^{4}, 5 !$ số 

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số
1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2 . C_{6}^{3}, 4 !$

Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $2 . C_{7}^{4} .5!-2 . C_{6}^{3} .4!=7440$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{\text {abcde}}(a \neq 0)$

TH1: Nếu a=1 khi đó:

            Có 1 cách chọn a.

            Có 7 cách chọn b.

            Có 6 cách chọn c.

            Có 5 cách chọn d.

            Có 4 cách chọn e.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 1.7.6.5.4=840 số.

TH2: Nếu a≠1 khi đó:

Có 6 cách chọn a.

Có 2 cách xếp vị trí cho chữ số 1 là b hoặc c.

Cách xếp các chữ số còn lại có 6.5.4 = 120 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.2.120 = 1440 số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 840 + 1440 = 2280 số.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Bước 1: Gom 3 em nữ thành một nhóm thì số cách đổi vị trí các em nữ trong nhóm đó là 3! cách.

Bước 2: Sau khi nhóm 3 em nữ thì ta chỉ còn 8 phần tử. Số cách xếp 8 phần từ này là 8! cách.

Theo quy tắc nhân thì có 3!.8!=241920 cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn

- Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất

Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.·
Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.·
Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.

Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.·
Có 5 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.·

Có 4 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.

Theo quy tắc nhân ta có $10.9.8.7.6.5.4=604800$ cách