Hướng dẫn giải (chi tiết)

Có hai khả năng để giáo viên chọn:

- Tổ 1 có bạn được làm lớp trưởng thì có 12 cách chọn

- Tổ 3 có bạn được làm lớp trưởng thì có 13 cách chọn

Vậy có tất cả 12+13=25 cách chọn

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo quy tắc nhân ta có :

$6.5=30$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.

$6.9=54$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

$5.9=45$ cách chọn một quy ển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

Vậy có $30+54+45=129$ cách

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}}$

Trường hợp 1: $a_4$ =2
- $a_1$ có 5 cách chọn
- $a_2$ có 4 cách chọn
- $a_3$ có 3 cách chọn
Nên số cần tìm là 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2 : $a_4 \ne 2$ nên có 2 cách chọn {4,6},số 2 có 3 vị trí giả sử $a_1=2$

- $a_1$ có 1 cách chọn
- $a_2$ có 4 cách chọn
- $a_3$ có 3 cách chọn
Nên có 2.3.4.3.1 = 72 số
Vậy có 60 + 72 = 132 số cần tìm

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:

PA1: TNCNTNCNT.

PA2: TNTNCNCNT.

PA3: TNCNCNTNT.

Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho 3  người đàn ông ngồi.

- Người đàn ông thứ nhất có 33  cách xếp.

- Người đàn ông thứ hai có 22  cách xếp.

- Người đàn ông thứ ba có 11  cách xếp

Nên số cách xếp ba vị trí cho 3 người đàn ông là 3.2.1=6 cách.

Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có 4.3.2.1=24  cách.

Hai vị trí cho trẻ em ngồi có 2.1=2 cách.

Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.

Theo quy tắc cộng ta có: 3.6.24.2=864 cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa

B,C,D tương tự cũng có 3 cách

Vậy có $3.3.3.3=81$ cách xếp 4 người lên toa tàu

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $253125000=2^{3} \cdot 3^{4} .5^{8}$ nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng $2^{m} .3^{n} .5^{p}$ trong đó $m, n, p \in \mathbb{N}$ sao cho $0 \leq m \leq 3 ; 0 \leq n \leq 4 ; 0 \leq p \leq 8$

Có 4 cách chọn m.
Có 5 cách chọn n.
Có 9 cách chọn p.

Vậy theo quy tắc nhân ta có $4.5.9=180$ ước số tự nhiên.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.

Có 8  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.

Có 7 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.

...

Có 1  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.

Suy ra có 8.7.6.5.4.3.2.1  cách xếp viên bi đỏ.

Tương tự có 8.7.6.5.4.3.2.1  cách xếp viên bi xanh.

Vậy có $(8.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1)^{2}$ cách xếp.

Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2 .(8.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1)^{2}=3251404800$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế.

Bước 2: Có 5 cách chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Bước 3: Có 8 cách chọn ra một học sinh lớp A vào ghế tiếp theo.

Bước 4: Có 4 cách chọn ra học sinh lớp B vào ghế đối diện.

Bước 5: Có 6 cách chọn ra học sinh lớp A.

Bước 6: Có 3 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.

Bước 7: Có 4 cách chọn học sinh lớp A vào ghế tiếp.

Bước 8: Có 2 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.

Bước 9: Có 2 cách chọn học sinh lớp A vào ghế kế tiếp.

Bước 10: Có 1 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.

Theo quy tắc nhân thì có $10.5 .8 .4 .6 .3 .4 .2 .2 .1=(5 !)^{2} .2^{5}=460800$ cách.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn".

Bước 1: Xếp vị trí cho 6 học sinh có 6! cách.

Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính 5 vách ngăn được tạo ra giữa 6 học sinh.

+) Thầy A có 5 cách xếp chỗ.

+) Thầy B có 4 cách xếp chỗ.

+) Thầy C có 3 cách xếp chỗ.

Vậy theo quy tắc nhân thì có 43200 cách.