Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x y^{2}-\dfrac{1}{x y}\right)^{8}=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot\left(x y^{2}\right)^{8-k} \cdot\left(-\dfrac{1}{x y}\right)^{k}} \\ {=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot x^{8-k} \cdot y^{16-2 k} \cdot(-1)^{k} \cdot(x y)^{-k}=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot(-1)^{k} \cdot x^{8-2 k} \cdot y^{16-3 k}}\end{array}$

Số hạng không chứa x ứng với $8-2 k=0 \Leftrightarrow k=4$ 

Vậy số hạng cần tìm là $C_{8}^{4} \cdot(-1)^{4} \cdot y^{4}=70 y^{4}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có số hạng tổng quát $T_{k+1}=C_{9}^{k}(\sqrt{3})^{9-k}(\sqrt[3]{2})^{k}$

Ta thấy bậc hai của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó để $T_{k+1}$ là một số nguyên thì 

$\left\{\begin{array}{l}{k \in \mathbb{N}} \\ {0 \leq k \leq 9} \\ {(9-k) : 2} \\ {k : 3}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{k=3 \Rightarrow T_{4}=C_{9}^{3}(\sqrt{3})^{6}(\sqrt[3]{2})^{3}=4536} \\ {k=9 \Rightarrow T_{10}=C_{9}^{9}(\sqrt{3})^{0}(\sqrt[3]{2})^{9}=8}\end{array}\right.\right.$

Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có 

$\left(x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)^{12}=\sum\limits_{k=0}^{12} C_{12^{2}}^{k} \cdot\left(x^{2}\right)^{12-k} \cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{12} C_{12}^{k} \cdot x^{24-2 k} \cdot x^{-k}=\sum\limits_{k=0}^{12} C_{12}^{k} \cdot x^{24-3 k}$

Hệ số của số hạng chứa $x^m$ ứng với

$\left\{\begin{array}{l}{C_{12}^{k}=495} \\ {24-3 k=m}\end{array} \Leftrightarrow \dfrac{12 !}{(12-k) ! . k !}=495 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{k=4 \Rightarrow m=12} \\ {k=8 \Rightarrow m=0}\end{array}\right.\right.$

Vậy có 2 giá trị m 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức $(2 x+1)^{13}$ là

$\begin{array}{l}{a_{n}=C_{13}^{n} \cdot 2^{13-n}} \\ {\Rightarrow a_{n-1}=C_{13}^{n-1} \cdot 2^{14-n},(n=1,2,3, \ldots, 13)}\end{array}$

Xét bất phương trình với ẩn số n ta có

$\begin{array}{l}{a_{n-1} \leq a_{n} \Leftrightarrow C_{13}^{n-1} \cdot 2^{14-n} \leq C_{n}^{13} \cdot 2^{13-n}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{2.13 !}{(n-1) !(14-n) !} \leq \dfrac{13 !}{n !(13-n) !} \Leftrightarrow \dfrac{2}{14-n} \leq \dfrac{1}{n} \Leftrightarrow n \leq \dfrac{14}{3} \notin \mathbb{N}}\end{array}$

Do đó bất đẳng thức $a_{n-1} \leq a_{n}$ đúng với $n \in\{1,2,3,4\}$ và dấu đẳng thức không xảy ra

Ta được $a_{0 }< a_{1}< a_{2}< a_{3}< a_{4}$ và $a_{4}>a_{5}>a_{6}>\ldots>a_{13}$

Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là

$a_{4}=C_{13}^{4} \cdot 2^{9}=366080$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét khai triển $x^{2}(1+2 x)^{10}=x^{2} \cdot \sum\limits_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot 1^{10-k} \cdot(2 x)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{2+k}$

Hệ số của số hạng chứa $x^8$ ứng với $k=6$ nên hệ số của $x^8$  là $2^{6} \cdot C_{10^{-}}^{6}$

Xét khai triển $x^{4}(3+x)^{8}=x^{4} \cdot \sum\limits_{i=0}^{8} C_{8}^{i} \cdot 3^{8-i} \cdot x^{i}=\sum\limits_{i=0}^{8} C_{8}^{i} \cdot 3^{8-i} \cdot x^{i+4}$

Hệ số của số hạng chứa $x^8$ ứng với $i=4$ nên hệ số của $x^8$ là $C_{8}^{4} \cdot 3^{4}$

Vậy hệ số cần tìm là $2^{6} \cdot C_{10}^{6}-3^{4} \cdot C_{8}^{4}=7770$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $0 \leq q \leq p \leq 10$ thì số hạng tổng quát của khai triển $P(x)=\left(3 x^{2}+x+1\right)^{10}$  là

$T_{p}=C_{10}^{p} \cdot C_{p}^{q} \cdot\left(3 x^{2}\right)^{10-p} \cdot(x)^{p-q} \cdot 1^{q}=C_{10}^{p} \cdot C_{p}^{q} \cdot 3^{10-p} \cdot(x)^{p-q+20-2 p}$

Theo đề bài thì $p-q+20-2 p=4 \Leftrightarrow p+q=16$

Do $0 \leq q \leq p \leq 10$ nên $(p ; q) \in\{(8 ; 8) ;(9 ; 7) ;(10 ; 6)\}$

Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển trên là $C_{10^{}}^{8} \cdot C_{8}^{8} \cdot 3^{10-8}+C_{10^{}}^{9} \cdot C_{9}^{7} \cdot 3^{10-9}+C_{10^{}}^{10} \cdot C_{10}^{6} \cdot 3^{10-10}=1695$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \in \mathbb{N}, \quad n \geq 3$

Ta có

$\begin{array}{c}{5 C_{n}^{n-1}=C_{n}^{3} \Leftrightarrow \dfrac{5 . n !}{1 ! \cdot(n-1) !}=\dfrac{n !}{3 !(n-3) !} \Leftrightarrow \dfrac{5}{(n-3) !(n-2)(n-1)}=\dfrac{1}{6 \cdot(n-3) !}} \\ {\Leftrightarrow n^{2}-3 n-28=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=7(T M)} \\ {n=-4(L)}\end{array}\right.}\end{array}$

Với $n=7$ ta có $P=\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{x}\right)^{7}$

Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là $T_{k+1}=\dfrac{(-1)^{k}}{2^{7-k}} \cdot C_{7}^{k} \cdot x^{14-3 k}$

Suy ra $k=3$

Vậy ra số hạng chứa $x^5$ trong khai triển là $T_{4}=-\dfrac{35}{16} x^{5}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left(1+x^{2}\right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{2 n}=C_{n}^{k}+C_{n}^{1} x^{2}+\ldots+C_{n}^{k} x^{12-2 k}$

Với $x=1$ thì $2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\ldots+C_{n}^{n}=1024$

$\Leftrightarrow 2^{n}=2^{10} \Leftrightarrow n=10$

Do đó hệ số của $x^{12}$ là $C_{10}^{6}=210$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ giả thuyết suy ra $C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=2^{20}(1)$

Mặt khác $C_{2 n+1}^{k}=C_{2 n+1}^{2 n+1-k}, \forall k, 0 \leq k \leq 2 n+1$ , nên:

$C_{2 *+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{n}=\frac{1}{2}\left(C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}\right)(2)$

Từ khai triển nhị thức $(1+1)^{2 n+1}$ suy ra 

$C_{2 n+1}^{0}+C_{2 n+1}^{1}+\ldots+C_{2 n+1}^{2 n+1}=(1+1)^{2 n+1}=(2)^{2 n+1}(3)$

Từ (1),(2) và (3) ta có $2^{2 n}=2^{20} \Rightarrow n=10$

Ta có số hạng tổng quát của nhị thức $\left(\dfrac{1}{x^{4}}+\sqrt{x}\right)^{10}=\sum\limits_{y=0}^{n} C_{10}^{k}\left(x^{-4}\right)^{10-k}\left(x^{7}\right)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{10}^{k} x^{11 k-40}$

Hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^k$ với k thỏa mãn $41 k-40=26 \Leftrightarrow k=6$

Vậy hệ số của $x^{26} $ là $C_{10}^{6}=210$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có số hạng tổng quát của khai triển $\left(\sqrt[3]{\dfrac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\dfrac{b}{\sqrt[3]{a}}}\right)^{21}=\left(a^{\dfrac{1}{3}} \cdot b^{-\dfrac{1}{6}}+a^{-\dfrac{1}{6}} b^{\dfrac{1}{2}}\right)^{21}$

$= \sum\limits_{k = 0}^{21} {C_{21}^k} {a^{\dfrac{k}{3}}} \cdot {b^{ - \dfrac{k}{6}}}{a^{\dfrac{{k - 21}}{6}}}{b^{\dfrac{{21 - k}}{2}}} = \sum\limits_{k = 0}^{21} {C_{21}^k{a^{\dfrac{{3k - 21}}{6}}}{b^{\dfrac{{63 - 4k}}{6}}}} $

Để số mũ của $a,b$ bằng nhau $ \Leftrightarrow \dfrac{{3k - 21}}{6} = \dfrac{{63 - 4k}}{6} \Leftrightarrow k = 12$

Vậy hệ số của số hang chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển là $C_{21}^{12}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \geq 2, n \in \mathbb{N}^{*}$

Ta có $3 C_{n+1}^{3}-3 A_{n}^{2}=52(n-1) \Leftrightarrow 3 \cdot \dfrac{(n+1) !}{3 !(n-2) !}-3 \dfrac{n !}{(n-2) !}=52(n-1)$

$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{(n-1) n(n+1)}{2}-3 n(n-1)=52(n-1) \Leftrightarrow n^{2}+n-6 n=104} \\ {\Leftrightarrow n^{2}-5 n-104=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=13} \\ {n=-8}\end{array} \Leftrightarrow n=13\right.} \\ {\left(x^{3}+2 y^{2}\right)^{13}=\sum\limits _{0}^{13} C_{13}^{k}\left(x^{3}\right)^{13-k}\left(2 y^{2}\right)^{k}=\sum\limits_{0}^{13} C_{13}^{k} 2^{k} x^{39-3 k} y^{2 k}}\end{array}$

Ta có $39-3 k+2 k=34 \Leftrightarrow k=5$. Vậy hệ số $C_{13}^{5} 2^{5}=41184$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét hai khai triển 

$\begin{array}{l}{+2^{2017}=(1+1)^{2017}=C_{2017}^{0}+C_{2017}^{1}+C_{2017}^{2}+C_{2017}^{3}+\ldots+C_{2017}^{2017}(1)} \\ {+0=(1-1)^{2017}=C_{2017}^{0}-C_{2017}^{1}+C_{2017}^{2}-C_{2017}^{3}+\ldots-C_{2017}^{2017}(2)}\end{array}$

Lấy $(1)-(2)$ theo vế ta được :

$2^{2017}=2\left(C_{2017}^{1}+C_{2017}^{3}+C_{2017}^{5}+\ldots+C_{2017}^{2017}\right) \Rightarrow T=2^{2016}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=55 \Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=55 \Leftrightarrow n^{2}+n-110=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=10} \\ {n=-11}\end{array} \Rightarrow n=10\right.$

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left(x^{3}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)^{10}$ là $T_{k+1}=C_{10}^{k}\left(x^{3}\right)^{10-k} \cdot\left(\dfrac{2}{x^{2}}\right)^{k}=C_{10}^{4} \cdot 2^{k} x^{30-5 k}$

Số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $k=5$

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển trên là $C_{10}^{6} .2^{5}=8064$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \in \mathbb{N}$

Ta có 

$\begin{array}{l}{C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3) \Leftrightarrow \dfrac{(n+4) !}{(n+1) ! 3 !}-\dfrac{(n+3) !}{n ! 3 !}=7(n+3)} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6}-\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}=7(n+3)} \\ {\Leftrightarrow 3 n=36 \Leftrightarrow n=12}\end{array}$

Xét khai triển 

${{{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)}^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {{\left( {\dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}{{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)}^{12 - k}}(0 \le k \le 12,k \in \mathbb{N})}\\{ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\dfrac{{60 - 11k}}{2}}}}$

Số hạng chứa $x^8$ thì $\dfrac{60-11 k}{2}=8 \Leftrightarrow k=4$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển trên là $C_{12}^{4}=495$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $(a+b)^{99}=C_{99}^{0} a^{99}+C_{99}^{1} a^{98} b+C_{99}^{2} a^{97} b^{2}+\ldots+C_{99}^{98} a b^{98}+C_{99}^{99} b^{99}$

Thay $a=3, b=4$ ta có:

$\begin{array}{l}{(3+4)^{99}=C_{99}^{0} \cdot 3^{99}+C_{99}^{1} \cdot 3^{98} \cdot 4+C_{99}^{2} \cdot 3^{97} \cdot 4^{2}+\ldots+C_{99}^{98} \cdot 3 \cdot 4^{98}+C_{99}^{99} \cdot 4^{99}} \\ {\Leftrightarrow 7^{99}=3^{99} C_{99}^{0}+3^{98} \cdot 4 C_{99}^{1}+3^{97} \cdot 4^{2} C_{99}^{2}+\ldots+3.4^{98} C_{99}^{98}+4^{99} C_{99}^{99}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $(1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}$

Cho $x=1$ thì $\begin{array}{l}{2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}} {+\ldots+C_{n}^{n}}\end{array}$ đúng

Cho $x=-1$ thì $\begin{array}{l}{0=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-} {\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}}\end{array}$ đúng

Cho $x=2$ thì $\begin{array}{l}{3^{n}=C_{n}^{0}+2 C_{n}^{1}} {+4 C_{n}^{2}+\ldots+2^{n} C_{n}^{n}}\end{array}$ đúng

Cho $x=-2$ thì $(-1)^{n}=C_{n}^{0}-2 C_{n}^{1}+C_{n}^{2} 2^{2}-\ldots+C_{n}^{n}(-2)^{n}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $(a+b)^{n}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+C_{n}^{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+C_{n}^{n} b^{n}$

Thay $a=1, b=1$ ta có :

$\begin{array}{l}{2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}} \\ {\Leftrightarrow 2^{n}=1+n+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+C_{n}^{4}+C_{n}^{5} \ldots+C_{n}^{n-2}+n+1} \\ {\Leftrightarrow 2^{n}-2 n-2=C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+C_{n}^{4}+C_{n}^{5} \ldots+C_{n}^{n-2}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Sử dụng đẳng thức $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ ta có

$\begin{array}{l}{S=C_{15}^{8}+C_{15}^{9}+C_{15}^{10}+\ldots+C_{15}^{15}=C_{15}^{7}+C_{15}^{6}+C_{15}^{5}+\ldots+C_{15}^{0}} \\ {\Rightarrow 2 S=\left(C_{15}^{8}+C_{15}^{9}+C_{15}^{10}+\ldots+C_{15}^{5}\right)+\left(C_{15}^{7}+C_{15}^{6}+C_{15}^{5}+\ldots+C_{15}^{0}\right)=\sum\limits_{k=0}^{15} C_{15}^{k}=2^{15}} \\ {\Rightarrow S=2^{14}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $(a+b)^{n}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+C_{n}^{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+C_{n}^{n} b^{n}$

Thay $a=1,b=2$ ta có

$3^{n}=C_{n}^{0}+2 C_{n}^{1}+2^{2} C_{n}^{2}+2^{3} C_{n}^{3}+\ldots+2^{n-2} C_{n}^{n-2}+2^{n-1} C_{n}^{n-1}+2^{n} C_{n}^{n}$

Nên $3^{n}=243 \Leftrightarrow 3^{n}=3^{5} \Leftrightarrow n=5$