Hướng dẫn giải (chi tiết)

+) Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có $x_{1}, x_{2}, x_{3}$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $x_{1} x_{3}=x_{2}^{2}$. Suy ra ta có $x_{2}^{3}=8 \Leftrightarrow x_{2}=2$

+) Điều kiên đủ: Với $m=1$ và $m=7$ thì $m^{2}+6 m=7$ nên ta có phương trình $x^{3}-7 x^{2}+14 x-8=0$

Giải phương trình, ta được các nghiệm là 1, 2, 4. Hiển nhiên ba nghiệm này thành một cấp số nhân với công bội $q=2$

Vậy $m=1 \text { và } m=-7$ là các giá trị cần tìm

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với cấp số nhân $a, b, c>0 \Rightarrow b^{2}=a c=36 \Rightarrow b=6>0$

Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có

$\begin{array}{l}{u_{1}=6 ; d=4 ; S_{n}=510} \\ {S_{n}=\dfrac{n}{2}\left(2 u_{1}+(n-1) d\right) \Leftrightarrow 510=\dfrac{n}{2}(12+4(n-1))} \\ {\Leftrightarrow n^{2}+2 n-255=0} \\ {\Rightarrow n=15}\end{array}$

(do n nguyên dương)

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi q là công bội của cấp số nhân, $q>0$

Ta có $u_{4}+\dfrac{1024}{u_{7}}=2 q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si, ta có:

$2 q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}}=q^{3}+q^{3}+\dfrac{512}{q^{6}} \geq 3 \sqrt[3]{q^{3} \cdot q^{3} \cdot \dfrac{512}{q^{6}}}=24$

Suy ra $u_{4}+\dfrac{1024}{u_{7}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi $q^{3}=\dfrac{512}{q^{6}} \Leftrightarrow q=2$

Ta có $S_{10}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=2^{11}-2 ; S_{10}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{20}\right)}{1-q}=2^{21}-2$

Do đó $S=S_{20}-S_{10}=2095104$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $u_{n}$ là khối lượng còn lại của 20 gam poloni sau n chu kì bán rã.

Ta có 7314 ngày gồm $\dfrac{7314}{138}=53$ chu kì bán rã.

Do đó ta cần tính $u_{53}$

Theo giả thiết của bán toán thì $u_{n}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=\dfrac{20}{2}=10 ; q=\dfrac{1}{2}$

Do đó $u_{53}=10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{52} \approx 2,22.10^{-15}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo giá thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng 2% nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước

$1+2 \%=1,02$ lần nên số dân theo các năm lieentieeps lập thành cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=3.10^{6}$ và công bội $q=1+0,02$

$\Rightarrow u_{n}=3.10^{6}(1+0,02)^{n} \Rightarrow u_{3}=3.10^{6}(1+0,02)^{3}=3183624$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $u_{0}=4.10^{5} $ và $r=4 \%=0,04$

Gọi $u_{n}$ là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ n.

Khi đó ta có $u_{n+1}=u_{n}+u_{n}(1+r), n \in \mathbb{N}$

Suy ra $u_{n}$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{0}$ và công bội $q=1+r$

Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ là $u_{n}=u_{0}(1+r)^{n}$

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:

$u_{n}=u_{1} \cdot q^{5}=4.10^{5} \cdot(1+0,04)^{5}=4 .10^5.(1,04)^{5}$ mét khối gỗ

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-54}{2}=27$

Điều kiện cần để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{27}=3 $ phải là nghiệm của phương trình đã cho.

$\Leftrightarrow m^{2}+2 m-8=0 \Leftrightarrow m=2 ; m=-4$

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ nên $m=2$ và $m=-4$ các giá trị thỏa mãn 

Suy ra: $P=2^{3}+(-4)^{3}=-56$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Goi q là công bội của cấp số nhân, khi đó

$4 u_{3}+2 u_{2}-15 u_{1}=2(4 q+1)^{2}-122 \geq-122, \forall q$

Dấu bằng xảy ra khi $4 q+1=0 \Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}$

Suy ra: $S_{10}=u_{1} \cdot \displaystyle\frac{1-q^{10}}{1-q}=8 . \frac{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{10}}{1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)}=\frac{2\left(4^{10}-1\right)}{5.4^{8}}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $r_{i}$ là khoảng cách rơi thứ i 

Ta có: $r_{1}=81, r_{2}=\dfrac{2}{3} .81_{n-1}, r_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot 81, \ldots$

Suy ra tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần rơi thứ n bằng $\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{1-\dfrac{2}{3}}$.

Gọi $t_{i}$ là khoảng cách lần rơi thứ i 

Ta có: $t_{1}=\dfrac{2}{3} .81, t_{2}=\left(\dfrac{2}{3}\right) \cdot \dfrac{2}{3} 81, \ldots, t_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} \dfrac{2}{3} .81, \ldots$.

Suy ra tổng các khoảng cách nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lần nảy thứ n là $\dfrac{2}{3} \cdot 81 . \frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{2}{3}}$

Vậy tổng các khoảng cách rơi của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa bằng $S=\lim \left(81 . \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{1-\dfrac{2}{3}}+\dfrac{2}{3} .81 . \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{2}{3}}\right)=405$

Đáp án: D