Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $A$ là biến cố: " nam, nữ đứng xen kẽ nhau".

- Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)=10 !$

- Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5!.5!$

- Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: $5 ! .5 !$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=5 ! .5 !+5 ! .5 !=28800} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{28800}{10 !}=\dfrac{1}{126}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega)=6^{3}$. 

Gọi $A$ là biến cố " Xuất hiện nhiều nhất 2 mặt 5" hay $A$: " Xuất hiện không quá hai mặt 5"

Khi đó $\overline{A}$: " Xuất hiện cả ba mặt đều là 5"

$\Rightarrow n(\overline{A})=6^{3}-1 \Rightarrow P(\overline{A})=\dfrac{1}{216}$

Xác suất biến cố $A$ là: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{1}{216}=\dfrac{215}{216}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là biến cố: "An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề".

Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$

Số khả năng Bình chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$.

Bây giờ ta đếm số khả năng để An và Bình có chung đúng một môn thi tự chọn và chung một mã đề:

Số khả năng An chọn 2 môn thi tự chọn và mã đề của 2 môn thi là $C_{3}^{2} \cdot 8^{2}$

Sau khi An chọn thì Bình có 2 cách chọn 2 môn thi tự chọn đề có đúng một môn thi tự chọn với An, để chung mã đề với An thì số cách chọn mã đề 2 môn thi của Bình là 1.8=8 cách. Như vậy, số cách chọn môn thi và mã đề thi của Bình là 2.8.

Do đó: $n(A)=C_{3}^{2} \cdot 8^{2} .2 .8$

Bởi vậy: $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot 2.8}{C_{3}^{2} \cdot 8^{2} \cdot C_{3}^{2} \cdot 8^{2}}=\dfrac{1}{12}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số cách xếp 10 người vào 10 chỗ là $10!$

Kí hiệu học sinh các lớp 12C là C

Ta xếp 5 học sinh của lớp 12C trước, khi đó xảy ra các trường hợp sau:

+TH1: $C x C x C x C x C x$ với x là ghế trống.

Khi đó, số cách xếp 5 vị trí là $5!$ và số cách xếp vào 5 vị trí x là $5!$

Nên có $5 ! .5 !$ cách xếp.

+ TH2: $x C x C x C x C x C$ cũng có $5!.5!$ cách xếp.

+ TH3: $C x x C x C x C x C$ ở đó hai vị trị $xx$ phải là 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B.

Số cách chọn 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B và 2 vị trí đó là $2.3.2!$

Ba ghế trống còn lại có $3!$ cách xếp.

Do đó có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.

+ TH4: $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.

+TH5:  $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.

+TH6:  $C x C x x C x C x C$ cũng có $5 ! 2.3 .2 ! .3 !$ cách xếp.

Vậy có $2.5 ! .5 !+4.5 ! .2 .3 .2 ! .3 !=63360$ cách xếp.

Xác suất cần tính là: $\dfrac{63360}{10 !}=\dfrac{11}{630}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Trước hết ta tính xác suất để trong một lượt gieo thứ k không được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.

Số phần tử của không gian mẫu là $C_{2}^{1} \cdot C_{6}^{1}=12$.

Số cách gieo để được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp là $C_{1}^{1} \cdot C_{1}^{1}=1$. Vậy $P\left(A_{k}\right)=\dfrac{12-1}{12}=\dfrac{11}{12}$.

Gọi A là biến cố trong 3 lượt gieo có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.

Khi đó $P(A)=1-P\left(A_{1} A_{2} A_{3}\right)=1-\left(\dfrac{11}{12}\right)^{3}=\dfrac{397}{1728}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn", suy ra $\overline{A}$ là biến cố "Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn" = "Thầy X chắc chắn đã lấy hết số sách của một môn học".

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=C_{15}^{8}=6435$

TH1: Lấy hết 4 cuốn môn Toán và thêm 4 trong 11 cuốn còn lại có $C_{4}^{4} \cdot C_{11}^{4}$ cách.

TH2: Lấy hết 5 cuốn môn Lí và thêm 3 trong 10 cuốn còn lại có $C_{5}^{5} \cdot C_{10}^{3}$ cách.

TH3: Lấy hết 6 cuốn môn Hóa và thêm 2 trong 9 cuốn còn lại có $C_{6}^{6} \cdot C_{9}^{2}$ cách

$\begin{array}{l}{n(\overline{A})=C_{4}^{4} \cdot C_{11}^{4}+C_{5}^{5} \cdot C_{10}^{3}+C_{6}^{6} \cdot C_{9}^{2}=486 \Rightarrow P(\overline{A})=\dfrac{54}{715}} \\ {\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=\dfrac{661}{715}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5; 0,5.

Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván.

Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván.

Có ba khả năng:

TH1: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5.

TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ván thứ hai xác suất là $(0,5)^{2}$.

TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là $(0,5)^{3}$

Vậy $P=0,5+(0,5)^{2}+(0,5)^{3}=\dfrac{7}{8}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega)=9.10^{3}=9000$

Từ giả thiết: $1 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 9 \Rightarrow 1 \leq a < b+1 < c+1 < d+1 \leq 9+3=12$

Số cách chọn a, b, c, d và sắp xếp chúng theo một thứ tự duy nhất là $C_{12}^{4}=495$

Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{495}{9000}=0,055$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $n(\Omega)=A_{10}^{8}-A_{9}^{7}$

Gọi A là tập hợp các số a có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45.

Khi đó a chia hết cho 5 và 9 

TH1: a có hàng đơn vị là 0;7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số $\{1 ; 8\},\{2 ; 7\},\{3 ; 6\},\{4 ; 5\}$, có $4.7!$ số.

TH2: a có hàng đơn vị là 5;7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số  $\{0 ; 9\},\{1 ; 8\},\{2 ; 7\},\{3 ; 6\}$Không có bộ $\{0 ; 9\}$, có 7 số

Có bộ $\{0 ; 9\}$ , có $C_{3}^{2}(7 !-6 !)$ số.

$\begin{array}{l}{\Rightarrow n(A)=4.7 !+C_{3}^{2}(7 !-6 !) } \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{4.7 !+C_{3}^{2}(7 !-6 !)}{A_{10}^{8}-A_{9}^{7}}=\dfrac{53}{2268}}\end{array}$