Hướng dẫn giải (chi tiết)

Lấy $A(-1 ; 0) \in \Delta_{1}$, gọi $A^{\prime}(x ; y)$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ ta có: $\overrightarrow{I A^{\prime}}=k \overrightarrow{I A}$

$\begin{array}{l}{\Rightarrow(x-2 ; y-1)=k(-3 ;-1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x-2=-3 k} \\ {y-1=-k}\end{array}\right.} \\ {\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=-3 k+2} \\ {y=-k+1}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(-3 k+2 ;-k+1)\right.}\end{array}$

$V_{(I ; k)}\left(\Delta_{1}\right)=\Delta_{2}, V_{(I ; k)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} \in \Delta_{2}$

Thay tạo độ điểm $A\'$ vào phương trình đường thẳng $\Delta_{2}$ ta có: 

$-3 k+2-2(-k+1)+4=0 \Leftrightarrow-k+4=0 \Leftrightarrow k=4$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{A N}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A M}$

$\Rightarrow$ Phép vị tự $V_{\left(A ; \frac{1}{2}\right)}(M)=N $ 

Vậy khi $M$ thay đổi trên $(O ; R)$ thì điểm $N$ thay đổi trên đường tròn $(T)$ là ảnh của đường tròn $(O ; R)$ qua phép vị tự $V_{\left(A ; \dfrac{1}{2}\right)}$

Gọi $I$ là ảnh của $O$ qua $V_{\left(A ; \dfrac{1}{2}\right)}$ ta có $\overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A O} \Rightarrow I$ là trung điểm của $OA$. Vậy $(T)$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\dfrac{R}{2}$ với $I$ là  trung điểm của $AO$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $H$ và $O$ lần lượt là trực tâm vầ tam đường tròn ngoại tiếp tâm $A B C$ 

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, kẻ đường kính $BK$. 

Xét đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ có $\widehat{B C K}$ nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \widehat{B C K}=90^{0} \Rightarrow B C \perp C K$

Mà $A H \perp B C \Rightarrow A H / / C K$

Tương tự ta chứng minh được $A K / / C H$

$\Rightarrow$ Tứ giác$AHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow A H=C K$

Có $OM$ là đường trung bình của tam giác $B C K \Rightarrow O M / / C K / / A H$ và $O M=\dfrac{1}{2} C K=\dfrac{1}{2} A H$

Gọi $G=A M \cap O H$ ta dễ thấy $\Delta A G H \sim \Delta M G O(g \cdot g)$

$\Rightarrow \dfrac{A G}{M G}=\dfrac{A H}{O M}=2=\dfrac{H G}{O G}$, mà $AM$ là trung tuyến của tam giác $A B C \Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Vậy $H, G, O$ thẳng hàng, với $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ và $\dfrac{H G}{O G}=2 \Rightarrow \overrightarrow{G O}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{G H}$

$\Rightarrow V_{\left(G ;-\dfrac{1}{2}\right)}(H)=O$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $d\'$ là ảnh của $d$ qua $V_{\left(I ; \frac{1}{3}\right)} \Rightarrow d^{\prime} / / d \Rightarrow$phương trình $d\'$ có dangj $x-y+c=0(c \neq 4)$

Lấy điểm $A(0 ; 4) \in d$, gọi $V_{\left(I ; \frac{1}{3}\right)}(A)=A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \Rightarrow \overrightarrow{I A^{\prime}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{I A}$

$\Rightarrow\left(x^{\prime}+1 ; y^{\prime}-1\right)=\dfrac{1}{3}(1 ; 3) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}+1=\dfrac{1}{3}} \\ {y^{\prime}-1=1}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\dfrac{2}{3}} \\ {y^{\prime}=2}\end{array}\right.\right.$

$\Rightarrow A^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; 2\right)$

$V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}(d)=d^{\prime} ; V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}(A)=A^{\prime} \Rightarrow A^{\prime} \in d^{\prime}$

Thay tọa độ điểm $A\'$ vào phương trình đường thẳng $d\'$ ta có: 

$-\dfrac{2}{3}-2+c=0 \Leftrightarrow c=\dfrac{8}{3}(t m)$

Vậy phương trình đường thẳng $d\'$ là: $x-y+\dfrac{8}{3}=0 \Leftrightarrow 3 x-3 y+8=0$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đường tròn $(C)$ có tâm $K(0 ; 0)$ bán kính $R=3$

Gọi $K^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ là ảnh của điểm $K$ qua phép vị tự $V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)}$ ta có:

$\overrightarrow{I K^{\prime}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{I K} \Rightarrow\left(x^{\prime}+1 ; y^{\prime}-1\right)=\dfrac{1}{3}(1 ;-1) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}+1=\dfrac{1}{3}} \\ {y^{\prime}-1=-\dfrac{1}{3}}\end{array}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\dfrac{2}{3}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{2}{3}}\end{array} \Rightarrow K^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)\right.$

Gọi $(C\')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép vị tự $V_{\left(I ; \dfrac{1}{3}\right)} \Rightarrow$ đường tròn $(C\')$ có tâm $K^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)$ và bán kính $R^{\prime}=\left|\dfrac{1}{3}\right| \cdot R=1$, do đó $(C\')$ có phương trình $\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{2}{3}\right)^{2}=1$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{V_{(I, 2)}(A)=A^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) \Rightarrow \overrightarrow{I A^{\prime}}=2 \overrightarrow{I A} \Rightarrow\left(x^{\prime}-2 ; y^{\prime}+1\right)=2(-1 ; 3)} \\ {\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}-2=-2} \\ {y^{\prime}+1=6}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=0} \\ {y^{\prime}=5}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 5)\right.\right.}\end{array}$

$B$ là trung điểm của $A^{\prime} B^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime \prime}=2 \cdot(-3)-0=-6} \\ {y^{\prime \prime}=2.1-5=-3}\end{array} \Rightarrow B^{\prime}(-6 ;-3)\right.$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$V_{(I, k)}(\Delta A B C)=\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \Rightarrow \Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \Delta A B C$ theo tỉ số

$k \Rightarrow \dfrac{S_{\Delta A B C^{\prime}}}{S_{\Delta A B C}}=k^{2}=4 \Rightarrow S_{\Delta A B C^{\prime}}=4 S_{\Delta A B C}$

Ta có $3^{2}+4^{2}=5^{2} \Rightarrow \Delta A B C$ là tam giác vuông

$\begin{array}{l}{\Rightarrow S_{\Delta A B C}=\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4=6} \\ {\Rightarrow S_{\triangle A^{\prime} P C^{\prime}}=4.6=24}\end{array}$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đường tròn $(C)$ có tâm $K(3 ; 1)$ và bán kính $R=2$, đường tròn $(C\')$có tâm $K^{\prime}(5 ; 3)$và bán kính $R^{\prime}=2$

$\Rightarrow|k|=\dfrac{R^{\prime}}{R}=1 \Rightarrow k=\pm 1, \mathrm{mà} I^{\prime} \neq I \Rightarrow k \neq 1 \Rightarrow k=-1$

Giả sử phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $K$ thành $K\'$ ta có: $\overrightarrow{I K^{\prime}}=-\overrightarrow{I K} \Rightarrow I$ là trung điểm của $K K^{\prime} \Rightarrow I(4 ; 2)$

Đáp án: A 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${V_{\left( {G,k} \right)}}\left( B \right) = D \Leftrightarrow \overrightarrow {GD} = k\overrightarrow {GB} $

Vì G là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {GB} = - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BO} $

Ta có $\overrightarrow {GD} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow {BO} = \left( { - 2} \right).\left( { - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BO} } \right) = - 2\overrightarrow {GB} $

Vậy $k=-2$