Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $\sin x=0 \Leftrightarrow x=m \pi$ thay vào phương trình thấy không thỏa mãn.
Xét $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq m \pi$
$\begin{array}{l}{2 \cos 3 x(2 \cos 2 x+1)=1} \\ {\Leftrightarrow 2[\cos 5 x+\cos x]+2 \cos 3 x=1} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin x \cos 5 x+2 \sin x \cos 3 x+2 \sin x \cos x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow(\sin 6 x-\sin 4 x)+(\sin 4 x-\sin 2 x)+\sin 2 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow \sin 6 x=\sin x}\end{array}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\ x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7} \end{array} \right.\\ x \ne m\pi \end{array} \right.(k,l \in \mathbb{Z} )$
Biểu diễn các điểm của hai họ nghiệm $x=\dfrac{k 2 \pi}{5} \text { và } x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}$ trên đường tròn đơn vị ta thấy các điẻm đều không trùng nhau. Do đó
+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{k 2 \pi}{5}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots 14 ; 15\}} \\ {k \notin\{-10 ;-5 ; 0 ; 5,10,15\}}\end{array}\right.\right.$
Suy ra các giá trị $x \text { cần loại bỏ là }-4 \pi,-2 \pi, 0,2 \pi, 4 \pi, 6 \pi . \text { Tổng các giá trị này là } 6 \pi$
+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{l \in\{-14 ;-13 ;-12 ; \ldots 19 ; 20\}} \\ {l \notin\{-4 ;-11 ; 3 ; 10 ; 17\}}\end{array}\right.\right.$
Suy ra các giá trị cần loại bỏ là $-\pi,-3 \pi, \pi, 3 \pi, 5 \pi .$ Tổng các giá trị này là $5 \pi.$
Vậy tổng nghiệm $\displaystyle S=\left[\sum_{k=-10}^{15}\left(\frac{k 2 \pi}{5}\right)-(6 \pi)\right]+\left[\sum_{l=-14}^{20}\left(\frac{\pi}{7}+\frac{l 2 \pi}{7}\right)-5 \pi\right]=50 \pi$
Đáp án: C