Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l}{\sin 2 x=\cos ^{4} \dfrac{x}{2}-\sin ^{4} \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow 2 \sin x \cos x=\cos ^{2} \dfrac{x}{2}-\sin ^{2} \dfrac{x}{2}} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x-\cos x=0 \Leftrightarrow \cos x(2 \sin x-1)=0}\end{array}$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\cos x=0} \\ {\sin x=\dfrac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{6}+ k2 \pi} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+ k2 \pi}\end{array}\right.\right.(k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$2 \sin x+1=0 \Leftrightarrow \sin x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=-\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{7 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}(k \in Z)\right.$

Vậy chỉ có hai điểm E và F thỏa mãn

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+) Nếu $m=0$ thì phương trình trở thành $\tan x=8$ có nghiệm nên $m=0$ thỏa mãn.

+) Nếu $m \neq 0$ thì:

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{\sin x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{\tan x \neq 0} \\ {\cot x \neq 0}\end{array}\right.\right.$

Phương trình $\tan x+m \cot x=8 \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{m}{\tan x}=8$

$\Leftrightarrow \tan ^{2} x-8 \tan x+m=0(*)$

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm $\tan x \ne 0$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\Delta^{\prime}=(-4)^{2}-m \geq 0} \\ {0^{2}-8.0+m \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m \leq 16} \\ {m \neq 0}\end{array}\right.\right.$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \le 16$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t=|\sin x+\cos x|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|$

Vì $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) \in[-1 ; 1] \Rightarrow t \in[0 ; \sqrt{2}]$

Ta có: 

$t^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin 2 x=t^{2}-1$

Phương trình đã cho trở thành 

$\begin{array}{l}{2\left(t^{2}-1\right)-3 \sqrt{6} t+8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=\dfrac{\sqrt{6}}{2}} \\ {t=\sqrt{6}(L)}\end{array}\right.} \\ {\sin 2 x=t^{2}-1=\dfrac{1}{2}}\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$2 \cos ^{2} x-\sin x-1=0 \Leftrightarrow-2 \sin ^{2} x-\sin x+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\sin x=-1} \\ {\sin x=\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-\dfrac{\pi}{2}+k_{1} 2 \pi} \\ {x=\dfrac{\pi}{6}+k_{2} 2 \pi \quad\left(k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{Z}\right)} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+k_{3} 2 \pi}\end{array}\right.$

Do  $x \in[0 ; 20 \pi]$ nên

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le - \dfrac{\pi }{2} + {k_1}2\pi \le 20\pi }\\ {0 \le \dfrac{\pi }{6} + {k_2}2\pi \le 20\pi }\\ {0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + {k_3}2\pi \le 20\pi } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{1}{4} \le {k_1} \le \dfrac{{41}}{4}}\\ { - \dfrac{1}{{12}} \le {k_2} \le \dfrac{{119}}{{12}}}\\ { - \dfrac{5}{{12}} \le {k_3} \le \dfrac{{115}}{{12}}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{k_{1} \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 10\}} \\ {k_{2} \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}} \\ {k_{3} \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}}\end{array}\right.$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn $[0 ; 20 \pi]$ là: 

$S=\sum_{k_{1}=1}^{10}\left(-\dfrac{\pi}{2}+k_{1} 2 \pi\right)+\sum_{k_{2}=0}^{9}\left(\dfrac{\pi}{6}+k_{2} 2 \pi\right)+\sum_{k_{2}=0}^{9}\left(\dfrac{5 \pi}{6}+k_{3} 2 \pi\right)=295 \pi$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $\sin x=0 \Leftrightarrow x=m \pi$ thay vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Xét $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq m \pi$

$\begin{array}{l}{2 \cos 3 x(2 \cos 2 x+1)=1} \\ {\Leftrightarrow 2[\cos 5 x+\cos x]+2 \cos 3 x=1} \\ {\Leftrightarrow 2 \sin x \cos 5 x+2 \sin x \cos 3 x+2 \sin x \cos x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow(\sin 6 x-\sin 4 x)+(\sin 4 x-\sin 2 x)+\sin 2 x=\sin x} \\ {\Leftrightarrow \sin 6 x=\sin x}\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\ x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{l2\pi }}{7} \end{array} \right.\\ x \ne m\pi \end{array} \right.(k,l \in \mathbb{Z} )$

Biểu diễn các điểm của hai họ nghiệm $x=\dfrac{k 2 \pi}{5} \text { và } x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}$ trên đường tròn đơn vị ta thấy các điẻm đều không trùng nhau. Do đó

+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{k 2 \pi}{5}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{k \in\{-10 ;-9 ;-8 ; \ldots 14 ; 15\}} \\ {k \notin\{-10 ;-5 ; 0 ; 5,10,15\}}\end{array}\right.\right.$

Suy ra các giá trị $x \text { cần loại bỏ là }-4 \pi,-2 \pi, 0,2 \pi, 4 \pi, 6 \pi . \text { Tổng các giá trị này là } 6 \pi$

+ Với $\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{\pi}{7}+\dfrac{l 2 \pi}{7}} \\ {x \neq m \pi} \\ {x \in[-4 \pi ; 6 \pi]}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{l \in\{-14 ;-13 ;-12 ; \ldots 19 ; 20\}} \\ {l \notin\{-4 ;-11 ; 3 ; 10 ; 17\}}\end{array}\right.\right.$

Suy ra các giá trị cần loại bỏ là $-\pi,-3 \pi, \pi, 3 \pi, 5 \pi .$ Tổng các giá trị này là $5 \pi.$

Vậy tổng nghiệm $\displaystyle S=\left[\sum_{k=-10}^{15}\left(\frac{k 2 \pi}{5}\right)-(6 \pi)\right]+\left[\sum_{l=-14}^{20}\left(\frac{\pi}{7}+\frac{l 2 \pi}{7}\right)-5 \pi\right]=50 \pi$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{\pi}{3}-x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {\displaystyle\frac{\pi}{3}+2 x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq-\dfrac{\pi}{6}-k \pi} \\ {x \neq \dfrac{\pi}{12}+k \dfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.\right.$

$\begin{array}{l}{\mathrm{pt} \Leftrightarrow \tan \left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)=\cot \left(\dfrac{\pi}{3}+2 x\right) \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}-2 x+k \pi} \\ {\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k \pi}\end{array}$

(Loại)

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}{x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi} \\ {y \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}\end{array}\right.$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x+y=\dfrac{2 \pi}{3}} \\ {\tan x \cdot \tan y=3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{2 \pi}{3}-x} \quad(1) \\ {\tan x . \tan \left(\dfrac{2 \pi}{3}-x\right)=3}\quad(2)\end{array}\right.\right.$

(2) $\Leftrightarrow \tan x \dfrac{\tan \dfrac{2 \pi}{3}-\tan x}{1+\tan \dfrac{2 \pi}{3} \cdot \tan x}=3 \Leftrightarrow \tan ^{2} x-2 \sqrt{3} \tan x+3=0 \Leftrightarrow \tan x=\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k \pi$

Từ (1) $\Leftrightarrow y=\dfrac{\pi}{3}-k \pi$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l} \cos x + \sqrt 3 \sin x = 2\left( {\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) = 2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le 2\\ \Rightarrow 2 - \cos x - \sqrt 3 \sin x \ge 0 \end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\tan \alpha = 3$ nên $\cos \alpha \ne 0$

$P = \dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{{5{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \dfrac{{\left( {3\tan \alpha - 2} \right)\left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{5{{\tan }^3}\alpha + 4}} = \dfrac{{70}}{{139}}$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\pi < \alpha < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0$

$\cos \alpha = \dfrac{{ - \sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \dfrac{{ - \sqrt {15} }}{5}$

$ \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$

$A = \dfrac{{\cot \alpha }}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{5}$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l}\n{\left( {6\sin 2x + 8\cos 2x} \right)^2} \le \left( {{6^2} + {8^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 100\\ \Rightarrow - 10 \le 6\sin 2x + 8\cos 2x \le 10\\ \Rightarrow - 7 \le 6\sin 2x + 8\cos 2x + 3 \le 13\n\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $13$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l}\n\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin 2x - \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = 2\sin x.\cos x - \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) = \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = \dfrac{1}{2}\\\n2\sin x + \cos x = \sin x\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = \dfrac{1}{2}\\\n\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\\nx = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \n\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\n\end{array}$

Vậy nghiệm âm lớn nhất là $- \dfrac{\pi }{4}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện xác định $\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$

Ta có $8\cot 2x = \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right).\sin 2x}}{{{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x}} \Leftrightarrow 8\cot 2x = \dfrac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{{{\cos }^4}x - {{\cos }^2}x.{{\sin }^2}x + {{\sin }^4}x}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{8\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{{\cos 2x.\sin 2x}}{{1 - \dfrac{3}{4}{{\sin }^2}2x}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos 2x = 0\\\n{\sin ^2}2x = 8 - 6{\sin ^2}2x\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos 2x = 0\\\n7{\sin ^2}2x = 8\left( {VN} \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)$

Vậy $a+2b=8$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\begin{array}{l}\n\cos x - \sin x = \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x} \right) = \sqrt 2 \cos (x + \dfrac{\pi }{4})\\ = > 2 - \sqrt 2 \cos (x + \dfrac{\pi }{4}) > 0\n\end{array}$

=> Tập xác định hàm số là $D=\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình tượng đương:

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{4 + 2\sin 2x}}{{\sin 2x}} - 2\sqrt 3 = 2\left( {\cot x + 1} \right)$

$\begin{array}{l} < = > \sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + \dfrac{4}{{\sin 2x}} - 2\sqrt 3 = 2\cot x\\ < = > \sqrt 3 {\tan ^2}x + 2\tan x - \sqrt 3 = 0\\ < = > \left[ \begin{array}{l}\n\tan x = - \sqrt 3 \\\n\tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\n\end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{ - \pi }}{3} + k\pi \\\nx = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \n\end{array} \right.\n\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình tương đương:

$\begin{array}{l} < = > \left( {\sin x - 1} \right)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ < = > (\sin x - 1)(\sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4}) + 2) = 0\\ < = > \sin x = 1\\ < = > x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \n\end{array}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số

$f(t) = - \dfrac{{1 + {t^2}}}{t}(\left| t \right| \ge 2) = > f\'\left( t \right) = \dfrac{{1 - {t^2}}}{t} = 0 < = > t = \pm 1$

Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: $\left[ \begin{array}{l}\nm \ge \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\\\nm \le - \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\n\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có : $\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13$

Khi đó : $\begin{array}{l}\n\dfrac{5}{{13}}\cos x + \dfrac{{12}}{{13}}\sin x = 1\\ = > \sin (x + 0,39) \approx 1 = > x = \dfrac{\pi }{2} - 0,39 + k2\pi \n\end{array}$

Do $x \in (0;4\pi )$ => Phương trình có 2 nghiệm có 2 nghiệm