Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện: $\sin x \neq 0$
$\dfrac{\sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}}{\sin x}=4 \cos x \Leftrightarrow \sqrt{1+\cos x}+\sqrt{1-\cos x}=4 \sin x \cos x$
$\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = 16{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x \Leftrightarrow 1 + |\sin x|}\\ { = 8{{\sin }^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)} (1)\\ {({\text{ với }} \sin x.\cos x \ge 0)} \end{array}$
TH1: $\sin x \ge 0$
$(1) \Leftrightarrow(1+\sin x)\left(8 \sin ^{3} x-8 \sin ^{2} x+1\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = - 1}\\ {\sin x = \dfrac{1}{2}\quad \qquad }\\ {\sin x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{4}} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x \ge 0} $ $\left[\begin{array}{l}{\sin x=\dfrac{1}{2}} \\ {\sin x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}\end{array}\right.$
$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }\\ {x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \end{array}{\text{ vì }}\sin x \cdot \cos x \ge 0{\text{ nên }}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \right.$
$\star \sin x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi} \\ {x=\pi-\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi}\end{array}\right.$ vì $\sin x \cdot \cos x \ge 0$ nên $x=\arcsin \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+k 2 \pi$
TH2: $\sin x<0$
$(1) \Leftrightarrow(1+\sin x)\left(8 \sin ^{3} x-8 \sin ^{2} x+1\right)=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x = 1}\\ {\sin x =- \dfrac{1}{2}\quad \qquad }\\ {\sin x = \dfrac{{-1 \pm \sqrt 5 }}{4}} \end{array}} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\sin x< 0} $ $\left[\begin{array}{l}{\sin x=-\dfrac{1}{2}} \\ {\sin x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}}\end{array}\right.$
$ \star \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }(k \in \mathbb{Z})\\ {x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } (k \in \mathbb{Z})\end{array}{\rm{ vì }} \ \sin x.\cos x \ge 0 \ {\rm{ nên }} \ x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi } (k \in \mathbb{Z})\right.$
Xét nghiệm thuộc đoạn
+ Với $\displaystyle x = \frac{\pi }{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320$ có 321 nghiệm.
+ Với $\begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle {x = \arcsin \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi (k \in \mathbb{Z})= \frac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{3\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320} \end{array}$ có 321 nghiệm.
+ Với $\displaystyle x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \le 2017 \Leftrightarrow 0 \le k \le 320$ có 321 nghiệm.
+ Với $\begin{array}{*{20}{l}} \displaystyle {x = \pi - \arcsin \left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right) + k2\pi (k \in \mathbb{Z})= \frac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\Rightarrow 0 \le \frac{{13\pi }}{{10}} + k2\pi \le 2017}\\ { \Leftrightarrow 0 \le k \le 320} \end{array}$ có 321 nghiệm.
Vậy có tổng cộng 321.4=1284 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án: C