Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78 \Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-1) ! 1 !}+\dfrac{n !}{(n-2) ! 2 !}=78$

$\Leftrightarrow n+\dfrac{n(n-1)}{2}=78 \Leftrightarrow n^{2}+n-156=0 \Leftrightarrow n=12$

Khi đó: $f(x) = {\left( {{x^3} - \frac{2}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {( - 2)^k}{x^{36 - 4k}}$

Số hạng không chứa x ứng với k: $36-4 k=0 \Rightarrow k=9$

Số hạng không chứ x là: $(-2)^{9} C_{12}^{9}=-112640$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số $ 1,2,3,4,5,6$ số cách chọn được A là $A_{3}^{2}=6$. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 số $0 ; 2 ; 4 ; 6$. Gọi $\overline{a b c d} ; a, b, c, d \in\{A, 0,2,4,6\}$ là số thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH1: Nếu $a=A$ có 1 cách chọn a và $A_{4}^{3}$ cách chọn $b, c, d$

TH2: $a \neq A$ có 3 cách chọn a

+) Nếu $b=A$ có 1 cách chọn b và $A_{3}^{2}$ cách chọn $c, d$

+) Nếu $c=A$ có 1 cách chọn c và  $A_{3}^{2}$ cách chọn $b, d$

Vậy có $A_{3}^{2}\left(A_{4}^{3}+3\left(1 . A_{3}^{2}+1 . A_{3}^{2}\right)\right)=360$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phép thử: Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu

Ta có $n(\Omega)=C_{12}^{3}=220$

Biến cố A: Lấy được 3 quả cầu khác màu

$\begin{array}{l}{n(A)=5.4 .3=60} \\ {\Rightarrow P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{11}}\end{array}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $n(\Omega)=6.6 .6 .6 .6 .6=6^{6}$

Có các trường hợp sau:

Số bằng 5 xuất hiện 5 làn, lần còn lại xuất hiện 1 trong 5 số $1,2,3,4,6$

Có $C_{6}^{5} \cdot C_{5}^{1}=30$ kết quả thuận lợi 

Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow $ Có 1 kết quả thuận lợi

Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần, lần còn lại xuất hiện 1 trong 5 số $1,2,3,4,5$

$\Rightarrow \operatorname{có} C_{6}^{5} \cdot C_{5}^{1}=30$ kết quả thuận lợi

Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần $\Rightarrow $ có 1 kết quả thuận lợi

Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là

$P=\dfrac{30+1+30+1}{6^{6}}=\dfrac{31}{23328}$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 3 lần là $C_{5}^{3}=10$

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 4 lần là $C_{5}^{4}=5$

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp 5 lần là $C_{5}^{5}=1$

Vậy số phần tử của biến cố " Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa" là: $10+5+1=16$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $y=23$, xét các số $x=\overline{a b c d e}$ trong đó $a, b, c, d, e$ đôi một khác nhau và thuộc tập $\{0,1, y, 4,5\}$

Có $P_{5}-P_{4}=96$ số như vậy

Khi ta hoán vị $2,3$ trong y ta được hai số khác nhau

Nên có $96.2=192 $ số thỏa mãn yêu cầu

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số cách chọn 3 điểm từ 11 điểm đã cho là : $n(\Omega)= C_{11}^3=165$

Để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác thì thỏa mãn 3 điểm đó không thẳng hàng.

Do đó có hai trường hợp xảy ra :
- Thứ nhất có hai điểm trên đường thẳng a và một điểm trên đường thẳng b là $C_6^2.C_5^1$ cách
- Thứ hai có một điểm trên đường thẳng a và hai điểm trên đường thẳng b là $C_6^1.C_5^2$ cách
Từ đây suy ra số cách chọn 3 điểm để tạo thành một tam giác là : $C_6^2.C_5^1+C_5^2.C_6^1=135$ cách

Vậy xác suất cần tính là $P=\dfrac{135}{165}=\dfrac{9}{11}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Có $n\left( \Omega \right) = 9.9.8.7 = 4536$

Gọi số đó là $\overline {abcd} $. Số đó muốn chia hết cho 25 thì điều kiện là  $cd$ chia hết cho $25$

Suy ra $cd \in \left\{ {25;50;75} \right\}$

TH1: $cd \in \left\{ {25;75} \right\}$ có 2 cách chọn, a có 7 cách chọn, b có 7 cách chọn nên có $2.7.7=98$ số

Th2: $cd=50$ có 1 cách chọn, a có 8 cách chọn, b có 7 cách chọn nên có $8.7=56$ số

Suy ra $n(A)=154$

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{154}}{{4536}} = \dfrac{{11}}{{342}}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l} n - 1 \ge 4\\ n - 1 \ge 3\\ n - 2 \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow n \ge 5 (n \in \mathbb{N})$

Ta có 

$\begin{array}{l} C_{n - 1}^4 - C_{n - 1}^3 - \dfrac{5}{4}A_{n - 2}^2 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{4!\left( {n - 5} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 4} \right)!}} - \dfrac{{5\left( {n - 2} \right)!}}{{4\left( {n - 4} \right)!}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 5} \right)!}}\left( {\dfrac{{n - 1}}{{24}} - \dfrac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \dfrac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n - 1}}{{24}} - \dfrac{{n - 1}}{{6\left( {n - 4} \right)}} - \dfrac{5}{{4\left( {n - 4} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 4} \right) - 4\left( {n - 1} \right) - 5.6 < 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 9n - 22 < 0\\ \Leftrightarrow n \in \left( { - 2;11} \right)\\ \Rightarrow n \in \left\{ {5;6;7;8;9;10} \right\} \end{array}$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là: $2.C_7^4.5!$ số

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2.C_6^3.4!$ số

Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $2.C_7^4.5!-2.C_6^3.4!=7440$ số

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $n \ge 3 ; n \in \mathbb{N}$

Ta có $A_n^3+2A_n^2=100$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 100\\ \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5\left( {t/m} \right)\n\end{array}$

Số hạng tổng quát khi khai triển nhị thức trên là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{.1^{10 - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k} = {\left( { - 3} \right)^k}.C_{10}^k{x^k}$

Hệ số của $x^5$ khi $k=5$. Do đó hệ số của $x^5$ là $-3^5.C_{10}^5$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}$

$\Rightarrow C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}$

$ \Leftrightarrow C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} - 1$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${\left( {1 - 3x} \right)^6} = C_6^0 - 3C_6^1x + 9C_6^2{x^2} - 27C_6^3{x^3} + ...$

Hệ số của $x^3$ trong khai triển $\left( {1 + ax} \right){\left( {1 - 3x} \right)^6}$ là $9aC_6^2-27C_6^3$

Theo đề bài ta có $9aC_6^2 - 27C_6^3 = 675 \Leftrightarrow a = 9$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${\left( {{x^2} + \dfrac{3}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k.{x^{24 - 24k}}{{.3}^k}{x^{ - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{3^k}{x^{24 - 3k}}} $

${\left( {2{x^3} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{21}} = \sum\limits_{i = 0}^{21} {C_{21}^i{2^{21 - i}}{x^{63 - 3i}}.{x^{ - 2i}}} = \sum\limits_{i = 0}^{21} {C_{21}^i{2^{21 - i}}{x^{63 - 5i}}} $

Xét phương trình $24 - 3k = 63 - 5i \Leftrightarrow 5i = 3\left( {k + 13} \right) \Rightarrow $ $k$ chia cho $5$ dư $2$ mà $0 \le k \le 12 $ nên có 3 giá trị của $k$

Do đó có 3 số hạng trong hai khai triển trùng nhau

Với khai triển ${\left( {{x^2} + \dfrac{3}{x}} \right)^{12}}$ có 13 số hạng. Với khai triển ${\left( {2{x^3} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{21}}$ có 22 số hạng

Vậy tổng số số hạng trong khai triển $f(x)$ là $35-3=32$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng luôn tạo thành duy nhất 1 tam giác

Vậy với 89 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, số tam giác tạo thành $C_{89}^3$ tam giác

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số vận động viên nam là $n$

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2C_n^2=n(n-1)$

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $2.2.n=4n$

Vậy ta có $n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12$ 

Vậy số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2=182$

Đáp án C
.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} \Rightarrow \dfrac{1}{{C_n^3}} = \dfrac{6}{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} = \dfrac{3}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}} - \dfrac{3}{{\left( {n - 1} \right)n}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{2020}} = \dfrac{6}{{1.2.3}} + \dfrac{6}{{2.3.4}} + \dfrac{6}{{3.4.5}} + ... + \dfrac{6}{{2018.2019.2020}}\\ = \dfrac{3}{{1.2}} - \dfrac{3}{{2.3}} + \dfrac{3}{{2.3}} - \dfrac{3}{{3.4}} + ... + \dfrac{3}{{2018}} - \dfrac{3}{{2019}} + \dfrac{3}{{2019}} - \dfrac{3}{{2020}}\n\end{array}$

$= \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{{2020}} = \dfrac{{6054}}{{4040}}$

Vậy $a-b=2016$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số $0,2,3,5,6,8$ là $6!-5!$

Số các số chữ số 0 và 5 đứng nhau $2.5!-4!$

Số các số chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau là $6!-5!-(2.5!-4!)=384$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ $5,6,7,8,9$ là $5!=120$ số

Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số $5,6,7,8,9$ xuất hiện ở hàng đơn vị là $4!=24$ lần

Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là $24.(5+6+7+8+9)=840$

Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần

Vậy tổng các chữ số thuộc tập S là $840.(1+10+10^2+10^3+10^4)=9333240$

Đáp án C