Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thể tích khối nón là:

$V= \frac{1}{3}.\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi.30^{2}.25\approx23561,94$ ($cm^{3}$)

Vậy đáp án đúng là 23561,94 $cm^{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kẻ BH ⊥ d ta có BH = 10cm

$\alpha=\widehat{ABH}$

$sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2}$

$=>\alpha=30^{0}$= const

Đường thẳng d cắt AB tại điểm A và tạo thành góc $30^{0}$ nên đường thẳng d luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng AB làm trục và có góc ở đỉnh bằng 2α = 2 . $30^{0}$ = $60^{0}$.

Vậy đáp án đúng là $60^{0}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng 7 cm. Giả sử thiết diện là ABCD.

Ta có AD = 7 cm, OI = 3 cm.

Do tam giác OAI vuông tại A nên

$AI^{2}=OA^{2}-OI^{2}=25-9=16$

Vậy AI = 4 cm, AB = 8 cm.

Diện tích của thiết diện là:

$S = AB.AA_{1}=8.7=56 (cm^{2})$

Vậy $S = 56 cm^{2}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Tam giác đều SAB cạnh a là thiết diện qua trục của hình nón.

Khi đó hình nón có bán kính R = a2, đường sinh l = a, chiều cao $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón là:

$S_{xq}=\pi.r.l=\pi.\frac{a}{2}.a=\pi.\frac{a^{2}}{2}$

$V=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.(\frac{a}{2})^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\pi.\frac{a^{3}.\sqrt{3}}{24}$

Vậy đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Diện tích diện tích toàn phần của hình trụ là: 

$S_{tp}=2\pi.rh +\pi.r^{2}$$= 2\pi.r.r\sqrt{2}+\pi.r^{2}=2\pi.(\sqrt{2}+1).r^{2}$

Vậy $S_{tp}=2\pi.(\sqrt{2}+1).r^{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vẽ đường sinh AA'(AA’ // OO’), ta có: $\widehat{BAA^{}}=30^{0}$

(Góc hợp bởi AB và trục của hình trụ) và OO’ // mp(AA’B).

Gọi M là trung điểm của A’B.

Ta có: O’M ⊥ A’B và O’M ⊥ AA’

⇒ O’M ⊥ mp(AA’B)

⇒ O’M = d(O’, mp(AA’B)) = d

(OO’, mp(AA’B)) = d(OO’, AB)

 Tam giác AA’B là tam giác vuông ở A’ và có AA′ = $h=r\sqrt{3}$ ; $\widehat{BAA^{}}=30^{0}$

A′B = AA′. tan $\widehat{BAA^{}}$ = $r\sqrt{3}.tan30^{0}$=r

Tam giác OA’B là tam giác đều cạnh bằng r (Vì OA’ = OB = A’B = r)

Vậy O′M = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$

=>d(AB,OO′) = $\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.

Ta có BH = 10cm = d(B,d)

Đặt $\alpha=\widehat{BAH}$

Khi đó:

$\nsin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\n=>\alpha=30^{0}$

Vậy góc ở đỉnh là 2α = 60^o

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 9.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S_xq = 2π.r.l = 2π.7.9 = 126π ($cm^{2}$).

Thể tích của khối trụ được tạo nên là:

V = πr².h = π.7².9 = 441π ( $cm^{3}$)

Vậy S_xq = 126π $cm^{2}$; V = 441π  $cm^{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hình trụ và hình nón có chiều cao h = $r\sqrt{3}$  và bán kính r

Hình nón có đường sinh là:

$l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{3r^{2}+r^{2}}=2r$

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S_{1}=2\pi.r.h=2\pi.r.r\sqrt{3}=2\pi.r^{2}\sqrt{3}$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_{2}=\pi.r.l=2\pi.r^{2}$

=> $\frac{S_{1}}{S_{2}}$= $\sqrt{3}$

Vậy đáp án C đúng.