Hướng dẫn giải (chi tiết)

Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

Gọi V là thể tích khối trụ ta có:

$V=\pi.r^{2}.h$

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón ta có: 

$V_{1}=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h$

Gọi $V_{2}$ là thể tích phần còn lại ta có:

$V_{2}$= V - $V_{1}$= $\pi.r^{2}.h$ - $\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h$ = $\frac{2}{3}\pi.r^{2}.h$

=> $\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h}{\frac{2}{3}\pi.r^{2}.h}=\frac{1}{2}$

Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi M là trung điểm của BC, ta có OM ⊥ BC và SM ⊥ BC

$=> SM =\frac{SO}{sin60^{0}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2}{\sqrt{3}}=a\frac{\sqrt{3}}{3}$

Tam giác vuông SMB ta có:

$MB^{2}=SB^{2}-SM^{2}=> MB=\frac{a\sqrt{6}}{3} $

Diện tích thiết diện:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.SM=MB.SM=a\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}$

Vậy $S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do tính chất đối xứng của (ABCD) nên (ABCD) cắt OO’ tại trung điểm I của OO’. I cũng là giao điểm của hai đường chéo AC, BD.

Xét tam giác vuông IOB ta có:

$IB^{2}=IO^{2}+OB^{2}$

=>$IB=\sqrt{(2,5)^{2}+5^{2}}=\frac{5\sqrt{5}}{2}$ (cm)

=>AC = DB = 2IB= $5\sqrt{5}$ (cm)

Do ABCD là hình vuông nên $AB = \frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}$ (cm)

=> $S_{ABCD}=AB^{2}=(\frac{5\sqrt{10}}{2})^{2}=62,5(cm^{2})$

Vậy $S_{ABCD}=62,5cm^{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi E là trung điểm của AB.

OE $\perp$ AB và IE $\perp$ AB

=> $\widehat{IEO}$ là góc giữa (ABCD) và mặt đáy của hình trụ.

Xét tam giác vuông IOB ta có:

$IB^{2}=IO^{2}+OB^{2}$

=>$IB=\sqrt{(0,5.r)^{2}+r^{2}}=\frac{r\sqrt{5}}{2}$ 

=>AC = DB = 2IB= $r\sqrt{5}$ 

IE = $\frac{1}{2}AD=\frac{r\sqrt{10}}{4}$; OI = r2

Xét tam giác vuông IOE có:

$OE=\sqrt{IE^{2}-OI^{2}}=\sqrt{(\frac{r\sqrt{10}}{4})^{2}-(\frac{r}{2})^{2}}=\frac{r\sqrt{6}}{4}$

$cos\widehat{IEO}=\frac{OE}{IE}=\frac{\frac{r\sqrt{6}}{4}}{\frac{r\sqrt{10}}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

Vậy đáp án D đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi thiết diện là đường tròn tâm A, đường kính d= 4 cm=> bán kính r = 2 cm. Gọi MN là một đường kính của đường tròn (A).

Gọi O là tâm của mặt cầu đã cho.

Hình nón có đáy là thiết diện là hình tròn tâm A và đỉnh là O có:

Bán kính đường tròn đáy là: r = 2.

Đường sinh là OM = 5 ( = bán kính của hình cầu đã cho)

Chiều cao:
$OA=\sqrt{MO^{2}-MA^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}$ (cm)

Diện tích đường tròn đáy là: S = πr² = 4π ($cm^{2}$)

Thể tích khối nón cần tính là:
$V=\frac{1}{3}S_{đáy}.h=\frac{1}{3}4\pi.\sqrt{21}=19,2$($cm^{3}$)

Vậy đáp án đúng là C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Do tam giác ABC là tam giác cân tại A có AH là đường trung tuyến nên AH ⊥ BC

Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH ta được hình nón có:

+ Đường sinh l = AB = a$\sqrt{7}$

+ Bán kính đáy r = BC2 = 2a

Suy ra đường cao của hình nón là:
$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{7a^{2}-4a^{2}}=\sqrt{3}a$

+ Thể tích của hình nón tạo thành là:

$V=\frac{1}{3}\pi.r^{2}.h=\frac{1}{3}\pi.(2a)^{2}\sqrt{3}a=\frac{4\sqrt{3}\pi.a^{3}}{3}$

Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.

Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác ABC vuông tại C có B = 45⁰
=>tam giác ABC vuông cân

+> BC = AC = h

Ta có:
$(CO^{’})^{2}=CI^{2}+(IO^{’})^{2}\n=>a^{2}=(\frac{h}{2})^{2}+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^{2}\n=>h=a\sqrt{2}$

Thể tích khối trụ là: V = πa².a $\sqrt{2}$ = πa³$\sqrt{2}$

Vậy đáp án đúng là B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+ Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.

Hình trụ tạo thành có:

+ Bán kính đường tròn đáy là r = AB = a

+ Đường cao của hình trụ là:
h = BC = CD.tan30⁰ = $a.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Suy ra, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

$S_{xq}=2\pi.r.h=2\pi.a.\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}\pi.a^{2}}{3}$

Vậy đáp án đúng là C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

=> S0 = OA = OB = $\frac{SA\sqrt{2}}{2}$= $\frac{3\sqrt{2}}{2}$(cm)

+ Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

=> ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

$SP=\frac{SO}{sin\widehat{SPO}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{sin60^{0}}=\sqrt{6}$ (cm)

$OP=SO.cot\widehat{SPO}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.cot60^{0}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (cm)

Ta có:

$AC=2AP=2\sqrt{OA^{2}-OP^{2}}=2\sqrt{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}}=2\sqrt{3}$ (cm)

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.SP.AC=\frac{1}{2}\sqrt{6}.2\sqrt{3}=3\sqrt{2}$ ($​​cm^{2}$)

Vậy đáp án đúng là D.