Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo đề ta có:

 $z.\bar z - 12\left| z \right| + \left( {z - \bar z} \right) = 13 - 10i \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 12\sqrt {{a^2} + {b^2}} + 2bi = 13 - 10i$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} - 12\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 13\\ 2b = - 10 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + 25 - 12\sqrt {{a^2} + 25} = 13\\ b = - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \sqrt {{a^2} + 25} = 13\\ \sqrt {{a^2} + 25} = - 1\left( {VN} \right) \end{array} \right.\\ b = - 5 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \pm 12\\ b = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 12\\ b = - 5 \end{array} \right.$ vì $a>0$.

Vậy $S = a + b = 7$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi$

Ta có: $\left| {x + yi - i} \right| = \left| {x - yi - 2 - 3i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {x - 2} \right) - \left( {y + 3} \right)i} \right|$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - 2y = 13 - 4x + 6y \\ \Leftrightarrow 4x = 12 + 8y \\ \Leftrightarrow x = 2y + 3$

Do đó ${\left| z \right|^2} = {x^2} + {y^2} = {\left( {2y + 3} \right)^2} + {y^2} = 5{y^2} + 12y + 9 = {\left( {y\sqrt 5 + \frac{6}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \frac{9}{5} \ge \frac{9}{5}$

Dấu "=" xảy ra$ \Leftrightarrow y = - \frac{6}{5}$, khi đó $x = \frac{3}{5} \Rightarrow z = \frac{3}{5} - \frac{6}{5}i$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = a + bi\,\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = 5$ (1)

$P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = {\left( {a + 2} \right)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3$ (2)

Từ (1), (2) ta được: $20{a^2} + \left( {64 - 8P} \right)a + {P^2} - 22P + 137 = 0$ $(*)$

Phương trình $(*)$ có nghiệm khi $\Delta \' = - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0$

$ \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {1258} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ là một căn bậc hai của $z$ khi và chỉ khi ${w^2} = z$

$ \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = 3 - 5i \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = 3 - 5i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} - {y^2} = 3\\\n2xy = - 5\n\end{array} \right.$

Ta có: $T = {x^4} + {y^4} = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + 2{x^2}{y^2} = {3^2} + 2.{\left( {\frac{{ - 5}}{2}} \right)^2} = \frac{{43}}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|\\\n\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\\n{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {x^2} + {y^2}\n\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 1$

Do đó $z = 1 + i$ nên $\left| z \right| = \sqrt 2 $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo giả thuyết ta có: $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow a_1^2 + b_1^2 = a_2^2 + b_2^2 = 1$

$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} = 3$$ \Leftrightarrow a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 + 2\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right) = 3$

$\Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$

Khi đó $\left| {\left( {{a_1} - {a_2}} \right) + \left( {{b_1} - {b_2}} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {{a_1} - {a_2}} \right)}^2} + {{\left( {{b_1} - {b_2}} \right)}^2}} $

$ = \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + a_2^2 + b_2^2 - 2\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right)} = \sqrt {2 - 2.\frac{1}{2}} = 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi$

Ta có $8 = \left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| \ge \left| {z - 3 + z + 3} \right| = \left| {2z} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| \le 4$

Do đó $M = max\left| z \right| = 4$

Mà $\left| {z - 3} \right| + \left| {z + 3} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {x - 3 + yi} \right| + \left| {x + 3 + yi} \right| = 8 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} = 8$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

$8 = 1.\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2}} + 1.\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {y^2} + {{\left( {x + 3} \right)}^2} + {y^2}} \right]} $

$ \Leftrightarrow 8 \le \sqrt {2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right)} \Leftrightarrow 2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 18} \right) \ge 64$

$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 7 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \sqrt 7 \Leftrightarrow \left| z \right| \ge \sqrt 7 $

Do đó $M = min\left| z \right| = \sqrt 7 $

Vậy $M + m = 4 + \sqrt 7 $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\left| z \right| = \sqrt {4 + {m^2}} $

$\left| z \right| < 3 \Leftrightarrow \sqrt {4 + {m^2}} < 3 \Leftrightarrow 4 + {m^2} < 9 \Leftrightarrow {m^2} < 5 \Leftrightarrow - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi$

Theo đề ta có $\left| {z - 1} \right| = \left| {x - 1 + yi} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} $

Do đó $\begin{array}{l}\n1 \le \left| {z - 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \le 2 \Leftrightarrow 1 \le {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 4\\\n\n\end{array}$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm $I (1; 0)$ bán kính $R=2$ và nằm ngoài đường tròn $I (1; 0)$ bán kính $r=1$.

Diện tích hình phẳng $S = \pi {.2^1} - \pi {.1^2} = 3\pi $