Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ:$D =\mathbb R \backslash \left\{ m \right\}$

$y’ = \frac{{1 - 2m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$, để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{2};1} \right)$ thì $y’ < 0,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{2};\,1} \right)$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2m < 0\\ \left[ \begin{array}{l} m \le \frac{1}{2}\\ m \ge 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \le 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\mathbb R$

$y’ = 6{x^2} - 6x - 6m$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$$ \Leftrightarrow y’ \le 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)$

$ \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x - 6m \le 0 \Leftrightarrow m \ge {x^2} - x,\,\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = {x^2} - x$

$g’\left( x \right) = 2x - 1$, $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \in \left( { - 1;\,1} \right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có  $m \ge g\left( x \right),\,\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right) \Leftrightarrow m \ge 2$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\mathbb R$

$y’ = 4{x^3} - 4\left( {m - 1} \right)$, để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$$ \Leftrightarrow y’ \ge 0,\,\forall x \in \left( {1;\,3} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge m,\,\forall x \in \left( {1;\,3} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = {x^2} + 1$ ta dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right) = 2$ tại $x = 1$ trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.

Vậy $m \le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ:$D = \mathbb R$

$y’ = {x^2} - 2x - \left( {3m + 2} \right)$

Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4 thì phương trình $y’ = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ sao cho $\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 4$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ’ > 0\\ \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + 3m + 2 > 0\\ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ {2^2} + 4\left( {3m + 2} \right) = 16 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ 12m = 4 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\mathbb R$

$y’ = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - m$, để hàm số đồng biến trên $\mathbb R$ thì $ \Leftrightarrow y’ \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R$

$ \Leftrightarrow m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\,\forall x \in\mathbb R$

Đặt $g\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - 1$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = 1$

$g’\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0,\,\forall x \in\mathbb R$

Ta có $m \le \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }},\,\forall x \in\mathbb R$

$\Leftrightarrow m \le - 1$

Mặt khác $m \in \left[ { - 2018;\,2018} \right] \Rightarrow m \in \left[ { - 2018;\, - 1} \right]$

Vậy có 2018 số nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\mathbb R$

$f’\left( {{x^2}} \right) = 2x.f’\left( {{x^2}} \right) \\ = 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right).g\left( {{x^2}} \right) \\ = 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right).g\left( {{x^2}} \right)$

Vì $g\left( x \right) > 0,\forall x \in\mathbb R$ nên $g\left( {{x^2}} \right) > 0,\forall x \in\mathbb R$

Do đó:

$f’\left( {{x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2{x^5}.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) > 0 \\ \Leftrightarrow 2{x^5}.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) > 0$

$\Leftrightarrow x \in \left( { - 2; - 1} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$

Vậy hàm số $f\left( {{x^2}} \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - 2; - 1} \right),\left( {0;1} \right),\left( {2; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Xét dấu $f’\left( x \right)$

$y’ = {\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime } = 2xf’\left( {{x^2}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {f’\left( {{x^2}} \right) = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0\,\,\,\,}\\ {{x^2} = 2\,\,}\\ {{x^2} = - 5}\\ {{x^2} = - 1} \end{array}} \right.} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0\,\,\,\,\,\,}\\ {x = \sqrt 2 \,\,}\\ {x = - \sqrt 2 } \end{array}} \right.$

Chọn $x = 1 \in \left( {0;\,\sqrt 2 } \right)$ ta có $y’\left( 1 \right) = 2.1.f’\left( {{1^2}} \right) = 2.f’\left( 1 \right) < 0$. Do đó, cả khoảng $\left( {0;\,\sqrt 2 } \right)$ âm.

Từ đó ta có trục xét dấu của $y’ = {\left( {f\left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime }$

Từ trục xét dâú ta thấy. Hàm số $y = f\left( {{x^2}} \right)$ đồng biến trên $\left( { - 1;\,0} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét hàm số $y = f\left( {2x - 3{x^2}} \right)$ ta có: $y’ = \left( {2 - 6x} \right).f’\left( {2x - 3{x^2}} \right)$

$f’\left( {2x - 3{x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 3{x^2} < 1\\ 2x - 3{x^2} > 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3{x^2} - 2x + 1 > 0\\ 3{x^2} - 2x + 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in\mathbb{R}$

$f’\left( {2x - 3{x^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3{x^2} > 1\\ 2x - 3{x^2} < 2 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3{x^2} - 2x + 1 < 0\\ 3{x^2} - 2x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $

Vậy để $\left( {2 - 6x} \right).f’\left( {2x - 3{x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - 6x > 0$$\Leftrightarrow x < \frac{1}{3}$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty \,;\,\frac{1}{3}} \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $y = g\left( x \right) = f\left( {x - {x^2}} \right)$

$g’\left( x \right) = f’\left( {x - {x^2}} \right).{\left( {x - {x^2}} \right)^\prime } = \left( {1 - 2x} \right)f’\left( {x - {x^2}} \right)$

Cho $g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - 2x = 0\\ f’\left( {x - {x^2}} \right) = 0 \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - 2x = 0\\ x - {x^2} = 1\left( {{\rm{ptvn}}} \right)\\ x - {x^2} = 2\left( {{\rm{ptvn}}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Với $x < \frac{1}{2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l} 1 - 2x > 0\\ f’\left[ { - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{4}} \right] > 0 \end{array} \right.$ nên $g’\left( x \right) > 0$

Với $x > \frac{1}{2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l} 1 - 2x < 0\\ f’\left[ { - {{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{4}} \right] > 0 \end{array} \right.$ nên $g’\left( x \right) < 0$

Vậy hàm số $g\left( x \right) = f\left( {x - {x^2}} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$