Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0 \Rightarrow {z_3} = - ({z_1} + {z_2})$

$ \Rightarrow \left| {{z_1}^3 + {z_2}^3 + {z_3}^3} \right| = \left| {{z_1}^3 + {z_2}^3 - {{({z_1} + {z_2})}^3}} \right| = \left| { - 3{z_1}{z_2}({z_1} + {z_2})} \right| = \left| {3{z_1}{z_2}{z_3}} \right| = 3$

mà ${\left| {{z_1}} \right|^3} + {\left| {{z_2}} \right|^3} + {\left| {{z_3}} \right|^3} = 1 + 1 + 1 = 3$

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\left| {{z_1}} \right| = OA = 3,\,\left| {{z_2}} \right| = OB = 4,\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = AB = 5$ 

Vậy $\Delta OAB$ vuông tại $O$ $ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = 6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $T = \left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right| = \left| {\left( {z - 1} \right) + \left( {1 + i} \right)} \right| + \left| {\left( {z - 1} \right) - \left( {1 + i} \right)} \right|$

Đặt $w = z - 1$. Ta có $\left| w \right| = \sqrt 2 $ và $T = \left| {w + \left( {1 + i} \right)} \right| + \left| {w - \left( {1 + i} \right)} \right|$

Đặt $w = x + yi$. Khi đó ${\left| w \right|^2} = 2 = {x^2} + {y^2}$ 

$T = \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| + \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = 1.\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + 1.\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} $

$ \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right)} = \sqrt {2\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 4} \right)} = 4$

Vậy $\max T = 4$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = a + bi\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)$ và $w = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có: $\left( {z - 2 + i} \right)\left( {\overline z - 2 - i} \right) = 25 \Leftrightarrow \left[ {a - 2 + \left( {b + 1} \right)i} \right]\left[ {a - 2 - \left( {b + 1} \right)i} \right] = 25$

$ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = 25\,\left( 1 \right)$

Theo giả thuyết $w = 2\overline z - 2 + 3i \Leftrightarrow x + yi = 2\left( {a - bi} \right) - 2 + 3i \Leftrightarrow x + yi = 2a - 2 + \left( {3 - 2b} \right)i$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx = 2a - 2\\\ny = 3 - 2b\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na = \frac{{x + 2}}{2}\\\nb = \frac{{3 - y}}{2}\n\end{array} \right.\left( 2 \right)$

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: ${\left( {\frac{{x + 2}}{2} - 2} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - y}}{2} + 1} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 100$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I (2; 5)$ và bán kính $R=10$

Khi đó $a+b+c=17$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có: $\left| {z + 1 - 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$

${\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i$

Theo giả thuyết ta có: ${x^2} - {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = y + 2\\\nx = - \left( {y + 2} \right)\n\end{array} \right.$

TH1: $x = y + 2$ thay vào $(1)$ ta được $2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0$$ \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z = 2$

TH2: $x = - \left( {y + 2} \right)$ thay vào $(1)$ ta được $2{y^2} - 4y - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny = 1 + \sqrt 5 \\\ny = 1 - \sqrt 5 \n\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = - 3 - \sqrt 5 }\\\n{x = - 3 + \sqrt 5 }\n\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{z = - 3 - \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i}\\\n{z = - 3 + \sqrt 5 + \left( {1 - \sqrt 5 } \right)i}\n\end{array}} \right.$

Vậy có tổng cộng 3 số phức thỏa mãn.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

Ta có: $\left| {2z - i} \right| = \left| {2 + iz} \right| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} \right)i} \right| = \left| {2 - y + xi} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phức là một đường tròn $\left( {O;1} \right)$ $\Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$

Ta có ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Rightarrow {P^2} = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3 $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R},{\rm{ }}y \ne 0} \right)$

Ta có $\left| {z - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {x + yi - \left( {2 + i} \right)} \right| = \sqrt {10} $

$ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \sqrt {10} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 5$

Lại có $z.\bar z = 25 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 25$ nên $25 - 4x - 2y = 5 \Leftrightarrow 2x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - 2x$

$\Rightarrow {x^2} + {\left( {10 - 2x} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow 5{x^2} - 40x + 75 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 5\\\nx = 3\n\end{array} \right.$

+ Với $x = 5 \Rightarrow y = 0$ không thỏa.

+ Với $x = 3 \Rightarrow y = 4$ thỏa mãn. 

$ \Rightarrow z = 3 + 4i$

Vậy điểm $M\left( {3;{\rm{ }}4} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vì $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|$ và ${z_1} \ne {z_2}$ nên cả hai số phức đều khác 0. Đặt $w = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}$ và $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = a$ 

$\overline w = \overline {\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}}} \right)} = \frac{{\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{{{z_1}}} + \frac{{{a^2}}}{{{z_2}}}}}{{\frac{{{a^2}}}{{{z_1}}} - \frac{{{a^2}}}{{{z_2}}}}} = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_2} - {z_1}}} = - w$

Từ đó suy ra $w$ là số thuần ảo. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \bar z$ và ${{\bar z}^2} = z,\,z + \overline z = - 1,\,z\overline z = {\left| z \right|^2} = 1$

Khi đó $\left( {a + bz + c{z^2}} \right)\left( {a + b{z^2} + cz} \right) = \left( {a + bz + c\overline z } \right)\left( {a + b\overline z + cz} \right)$

$ = {a^2} + ab\overline z + acz + abz + {b^2}z\overline z + bc{z^2} + ac\overline z + bc{\overline z ^2} + {c^2}z\overline z $

$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc.$