Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét tam giác OAH vuông tại H có: OA = r; OH = r2

=> $HA=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{r^{2}-(\frac{r}{2})^{2}}=\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Vậy đường tròn giao tuyến có bán kính $\frac{r\sqrt{3}}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét tam giác OHA vuông tại H có:

$HA=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{r^{2}-a^{2}}$

Xét tam giác OKB vuông tại K có:

$KB=\sqrt{OB^{2}-OK^{2}}=\sqrt{r^{2}-b^{2}}$

Mà 0 < a < b < r nên 0< $r^{2}-b^{2}$<$r^{2}-a^{2}$

=>$\sqrt{r^{2}-b^{2}}$  < $\sqrt{r^{2}-a^{2}}$

=> KB < HA

Vậy đường tròn cắt bởi (β) có bán kính nhỏ hơn bán kính đường tròn cắt bởi (α).

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Cho hình chóp S.A₁A₂A₃...A_n có các cạnh bên bằng nhau.

Gỉa sử I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy.

Ta có: SA₁ = SA₂ = SA₃ = ... = SA_n

Suy ra ΔSIA₁= ΔSIA₂ = ΔSIA₃ = ... = ΔSIA_n

Suy ra IA₁ = IA₂ = IA₃ = ... = IA_n

Đa giác A₁A₂A₃...A_n là một đa giác nội tiếp được trong một đường tròn tâm I bán kính IA, trục SI.

Trong mp(SAI), đường trung trực của SA₁ cắt SI tại O, ta có:

OS = OA₁ (1)

OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n (2)

Từ (1) và (2) suy ra OS = OA₁ = OA₂ = OA₃ = ... = OA_n

Vậy hình chóp S.A₁A₂A₃...A_n nội tiếp được trong một mặt cầu.

Vậy đáp án là Đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

A. đúng vì Đáy của hình chóp đều là một đa giác đều nên luôn nội tiếp đường tròn hay có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.

B.  sai vì chỉ khi hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì mới có mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

C. đúng vì các mặt phẳng cách đều tâm mặt cầu thì cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau.

 D. đúng vì Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật nội tiếp được đường tròn nên có một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật.

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB, vì tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyền

=>$MO=\frac{AB}{2}=R$

Vậy tập hợp các điểm M nhìn AB dưới một góc vuông nằm trêm mặt cầu đường kính AB

Ngược lại, lấy M thuốc mặt cầu đường kính AB thì $MO=\frac{AB}{2}$ do đó nếu M khác A và B thì tam giác MAB vuông tại M, còn khi M = A hoặc M = B ta cũng coi M nhìn AB một góc vuông.

Vậy: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Theo đề bài, ABCD là một hình vuông cạnh a nên:

$AC=DB=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

Đồng thời ΔASC và ΔBSD là các tam giác vuông cân tại S

=> $SI=a\sqrt{2}$

=> IA = IB = IC = ID = $\frac{SI}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

(I là tâm của hình vuông ABCD)

Vậy mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D có tâm là I và bán kính R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R và tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại M, N, P. H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC), ta có:

OM ⊥ AB => BM ⊥ AB

(theo định lí ba đường vuông góc)

Tương tự: HN ⊥ BC, HP ⊥ AC

Ta có: OM = ON = OP = R

Khi đó ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP

Suy ra HM = HN = HP

Chứng tỏ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy tâm O của mặt cầu thuộc đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại tâm H của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lấy điểm O thuộc trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại N, P, M, ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ BC, HP ⊥ CA

OM ⊥ AB, ON ⊥ BC, OP ⊥ CA (1)

Mặt khác: HM = HN = HP => ΔOHM = ΔOHN = ΔOHP

OM = ON = OP (2)

Từ (1) và (2) suy ra mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC.

Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC cho trước là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hai đường thẳng MAB và MCD giao nhau xác định một mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Trong mặt phẳng (P) thì các tích MA.MB và MC.MD là giá trị của phương tích của điểm M đối với đường tròn (C), do đó:

MA.MB = MC.MD.

Vậy đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án A: đúng ba điểm A, B, C xác định một mặt phẳng (ABC), giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, do đó đường tròn đi qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu. Trong đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với mặt cầu là một đường tròn, với giả thiết $\widehat{ACB}=90^{0}$ suy ra AB là đường kính của đường tròn giao tuyến.

Đáp án B và C sai vì chưa kết luận được AB là đường kính của mặt cầu hay không là đường kính của mặt cầu.