Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\widehat{SAB}$ = 60⁰ => SA = $a\sqrt{3}$

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .

Ta có: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$

⇒ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ => d(A, (SBC)) = AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_(A;a) theo giao tuyến là một đường tròn.

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\widehat{SAB}$ = 60⁰ => SA = $a\sqrt{3}$

Gọi H là hình chiếu của A trên SB, ta chứng minh được AH = d(A, (SBC)) .

Ta có: $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{1}{3a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}=\frac{4}{3a^{2}}$

⇒ AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ => d(A, (SBC)) = AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ < a = R

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt cầu S_{(A; a)} theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính

$r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a}{2}$

Vậy đáp án đúng là B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét các vuông tại A ∆BAC; ∆DAB; ∆DAC có:

AC² = BC² + AB² = 16a² + 9a² = 25a²

DB² = DA² + AB² = 25a² + 9a² = 34a²

DC² = DA² + AC² = 25a² + 25a² = 50a²

Xét ∆DBC có:

DB² + BC² = 34a² + 16a² = 50a² = DC²

=> ∆DBC vuông tại B

Gọi O là trung điểm của CD

∆DAC vuông tại A có AO là trung tuyến

=> OA = OC = OD = $\frac{CD}{2}$ (1)

∆DBC vuông tại B có BO là trung tuyến

=> OB = OC = OD = $\frac{CD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

OA = OB = OC = OD = $\frac{CD}{2}$

=> A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; $\frac{CD}{2}$)

=> R =  $\frac{CD}{2}$ = $\frac{5a\sqrt{2}}{2}$

Vậy đáp án đúng là D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên

SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Gọi G là trọng tâm của ∆SAB đều => G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.

∆SAB đều cạnh a, G là trọng tâm

$SG=\frac{2}{3}SH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có: $HO=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$

Trong tam giác vuông SGI tại G :

$SI=\sqrt{SG^{2}+HO^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$

Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

=> Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCA}$ = 60º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC²= AB² + BC² = a² + a² = 2a²

SA = AC . tan⁡$\widehat{SCA}$ = a$\sqrt{2}$. tan⁡60º = a$\sqrt{6}$

SC² = SA² + AC² = 6a² + 2a² = 8a²

SB² = SA² + AB² = 6a² + a² = 7a²

Ta có:

SB² + BC² = 7a² + a² = 8a² = SC²

=> ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có:  $\widehat{SAC}$ = $\widehat{SBC}$ =90º

Gọi O là trung điểm của SC

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

$R=SO=\frac{SC}{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}\n$

$V=\frac{4}{3}\pi.R^{3}=\frac{8\pi.a^{3}\sqrt{2}}{3}$

Vậy đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$(SAB)\perp(ABC)$

$(SAC)\perp(ABC)$

$(SAB)\cap(SAC)=SA$

$=>SA\perp(ABC)$

AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)

=> Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCA}$ =45º

Xét các ∆ABC; ∆SAB; ∆SAC vuông tại A có:

AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 25 =>AC=5

SA = AC.tan$\widehat{SCA}$ =5.tan⁡45º = 5

SC² = SA² + AC² = 25 + 25 = 50 =>SC = 5$\sqrt{2}$

SB² = SA² + AB² = 25 + 9 = 34

Ta có:

SB² + BC² = 34 + 16 = 50 = SC²

=> ∆SBC vuông tại B

Khi đó, ta có: $\widehat{SAC}$ = $\widehat{SBC}$ =90º

Gọi O là trung điểm của SC

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp S.ABC

$R=SO=\frac{SC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Vậy đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi 4x ( m) là đường sinh hình trụ.

Khi đó đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là x (m).

Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu có bán kính R= x.

Do đó, thể tích bồn chứa nước là:

$\pi(x^{2}.4x+\frac{4}{3}x^{3})=\frac{128\pi}{3}$

$\frac{16\pi.x^{3}}{3}=\frac{128\pi}{3}$

$=>x^{3}=8$

=> x = 2

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
π(4x² + 2.x.4x) = 48π(m²) .

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.

Chu vi đáy của hình lập phương là P = 4a = 4 cm

=> độ dài một cạnh là a = 1 cm

Bán kính hình cầu nội tiếp lập phương là
r = $\frac{a}{2}=\frac{1}{2}$ cm

Diện tích của mặt cầu là: S = 4π($\frac{1}{2}$)² = π cm²

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AC’.

Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là :
R₁ = IA = $\frac{AC^{’}}{2}$

Bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương là : R₂ = IO

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương là : R₃ = IM

Ta có R₁, R₂, R₃ như trên hình vẽ.

$R_{1}=\frac{AC^{’}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(AC^{’})^{2}+(A^{’}C^{’})^{2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+(\sqrt{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\n$

$R_{2}=\frac{a}{2}$

$R_{3}=\sqrt{MO^{2}+IO^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Kiểm tra ta thấy: R₁² = R₂² + R₃²

Chọn đáp án C.