Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $​​\vec{AB}$(-4, 1, 3); $\vec{AC}$(0, -1, 1)

=> [$​​\vec{AB}$, $\vec{AC}$] = (4, 4, 4]

Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có $\vec{n}\perp\vec{AB}$ và $\vec{n}\perp\vec{AC}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$​​\vec{AB}$, $\vec{AC}$]

Chọn $\vec{n}$(1; 1; 1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}$(1; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến $\vec{n}$(1; 1; 1) là:

1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\vec{AB}$(-4;5-1); \vec{CD}(-1;0;-2)

=> [$\vec{AB}$, \vec{CD}] = (10; 9; 5)

Gọi $\vec{n}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: $\vec{n}\perp\vec{AB}$  và $\vec{n}\perp\vec{CD}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{AB}$, $\vec{CD}$].

Chọn $\vec{n}$ = (10; 9; 5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\vec{n}$ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:

x = $\frac{1+2+3}{3}=2$; y = $\frac{0+1+2}{3}=1$; z = $\frac{(-1)+(-1)+(-1)}{3}=-1$

=> G( 2; 1; -1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: $\vec{n}$(3; -4; 1)

.+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vectơ pháp tuyến là : $\vec{n}$(3; -4; 1)

=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0

Hay 3x – 4y + z- 1= 0

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hai mặt phẳng 2x+my+3z–5=0 và nx–8y–6z+2=0 song song với nhau khi và chỉ khi:

$\frac{2}{m}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{6}$ # $\frac{-5}{2}$

=> m = 4; n = -4

Vậy đáp án A đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O≡A, $\vec{OB}$=$\vec{i}$ ,$\vec{OD}$=$\vec{j}$,$\vec{OA}$=$\vec{k}$ .

Ta có tọa độ các điểm lần lượt như sau: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1), B'(1; 0; 1), C'(1; 1; 1), D'(0; 1; 1).

Mp(AB’D’) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ $​​\vec{AB}$=(1; 0; 1) và $\vec{AD^{’}}$=(0; 1; 1) nên $\vec{n}$=[$​​\vec{AB}$;$\vec{AD^{’}}$]=(1; 1; −1)

Vậy phương trình của mp(AB’D’) là:

1(x – 1) + 1(y – 0) – 1(z – 0) = 0 hay x + y – z = 0

Tương tự ta tìm được phương trình của mp(BC’D) là:

x + y – z – 1 = 0

ta có: $\frac{1}{1}=\frac{1}{1}$ ≠ $\frac{-1}{-1}$  # $\frac{0}{-1}$

suy ra mp(AB’D’) // mp(BC’D)

Vậy đáp án là Đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}}$ (2; 1; 1)

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$ (1; -1; 2)

Ta có: [$\vec{u_{1}}$,$\vec{u_{2}}$] = ( 3; -3; -3); $\vec{MN}$ (1; 1;0)

Do $\vec{MN}$ . [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng $d_{1}$và $d_{2}$ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng$d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến là

$\vec{n}$ = [$\vec{u_{1}}$,$\vec{u_{2}}$] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$(1; 0; 0)

Trục Oy có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$(0; 1; 0)

Ta có: [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$] = (0; 0; 1)

Gọi $\vec{n}$ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Ox và Oy nên $\vec{n}\perp$$\vec{u_{1}}$ và $\vec{n}\perp$$\vec{u_{2}}$ nên $\vec{n}$ cùng phương với [$\vec{u_{1}}$, $\vec{u_{2}}$]

Chọn $\vec{n}$(0; 0; 1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x- 1) + 0( y+ 3) + 1( z- 2) = 0 hay z - 2 = 0

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

x+ 2y – 2z + d = 0

Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có:

d(M; (P))= 3

=> $\frac{\mid-1 + d\mid}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}$= 3

=> $\mid-1 + d\mid=9$

=> -1 + d = 9 hoặc -1 + d = -9

=> d = 10 hoặc d = -8

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

x+ 2y – 2z + 10 = 0 hoặc x+ 2y - 2z – 8= 0

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng:

2x - 4y + 4z + d = 0 (d ≠ 3)

Vì d(A; (P))= 3

=>$\frac{\mid4+12+16 + d\mid}{\sqrt{2^{2}+4^{2}+(-4)^{2}}}=18$

=> $\mid32 + d\mid=18$

=> 32 + d = 18 hoặc 32 + d = -18

=> d = -14 hoặc d = -50

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

2x - 4y+ 4z – 14= 0 và 2x – 4y + 4z – 50 = 0

Chọn đáp án A.