Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ {0;2} \right]$

$y\' = \frac{{ - 2x + 2}}{{2\sqrt { - {x^2} + 2x} }}$

$y\' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có: $f\left( 1 \right) = 1,\,f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt { - {x^2} + 2x}$ bằng 1.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ { - 2;{\rm{ }}2} \right]$

$y\' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\n4 - {x^2} = {x^2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx \ge 0\\\nx = \pm \sqrt 2 \n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $

Ta có : $f\left( 2 \right) = 2 + m$; $\,f\left( { - 2} \right) = - 2 + m$; $f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 + m$

Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số là $2\sqrt 2 + m = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow m = \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D=\left[ {2;4} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y\' = \frac{{ - 1 - m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y\left( 2 \right) = m + 2$, $y\left( 4 \right) = \frac{{m + 4}}{3}$

TH1: $- 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 1$. Khi đó $y\' > 0,\,\forall x \in D$. Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1$(Loại)

TH2: $- 1 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 1$. Khi đó  $y\' < 0,\,\forall x \in D$. Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) \Leftrightarrow \frac{{m + 4}}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ (nhận).

TH3: $m = - 1$. Khi đó $y = 1 < 3$ nên loại $m = - 1$.

Vậy $m = 5$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ {1;\,2} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

$y\' = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$, $y\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{2}$,  $y\left( 2 \right) = \frac{{m + 2}}{3}$

TH1: $1 - m = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi đó $y = 1$ (loại $m = 1$)

TH2: $m \ne 1$. Khi đó GTLN, GTNN lần lượt là $y\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{2}$, $y\left( 2 \right) = \frac{{m + 2}}{3}$ hoặc ngược lại.

Theo đề ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{{16}}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{2} + \frac{{m + 2}}{3} = \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 3m + 3 + 2m + 4 = 32 \Leftrightarrow 5m = 25 \Leftrightarrow m = 5$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y\' = 2\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in\mathbb{Z}$

Với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ suy ra $x = \frac{\pi }{2}$.

Ta có: $y\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - 1$, $y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$, $y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 1$

Vậy $M=2$ và $m=-1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4 = - {\sin ^2}2x - \frac{1}{2}\sin 2x + 5$

Đặt $t = \sin 2x$, $t \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Xét hàm số $g\left( t \right) = - {t^2} - \frac{1}{2}t + 5$, $t \in \left[ { - 1;1} \right]$.

$g\'\left( t \right) = - 2t - \frac{1}{2}$

$g\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4} \in \left[ { - 1;\,1} \right]$

$g\left( { - 1} \right) = \frac{9}{2}$, $g\left( { - \frac{1}{4}} \right) = \frac{{81}}{{16}}$, $g\left( 1 \right) = \frac{7}{2}$.

Vậy GTNN của hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4$ bằng $\frac{7}{2}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = \sin x,\,\left( { - 1 \le t \le 1} \right)$

$y = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$

Xét hàm số $y = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$ 

$y\' = \frac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}}$

$y\' = 0 \Leftrightarrow - {t^2} - 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 0{\rm{ }} \in \left[ { - 1;\,1} \right]\\\nt = - 2{\rm{ }} \notin \left[ { - 1;\,1} \right]\n\end{array} \right.$

Ta có: $y\left( { - 1} \right) = 0$, $y\left( 0 \right) = 1$, $y\left( 1 \right) = \frac{2}{3}$.

Vậy $M=1$, $m=0$. Khi đó $M=m+1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hàm số liên tục trên $\left[ { - 2;1} \right]$

$y\' = \frac{{{x^2} - 4x - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$, $y\' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1 \in \left[ { - 2;\,1} \right]\\\nx = 5 \notin \left[ { - 2;\,1} \right]\n\end{array} \right.$

Ta có: $y\left( { - 2} \right) = - \frac{9}{4}$, $y\left( { - 1} \right) = - 2$, $y\left( { - 2} \right) = - 6$.

Vậy $M=-2$, $m=-6$. Khi đó $T=M+2m=-14$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y\' = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$y\' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\\nx = 3 \notin \left[ {0;2} \right]\n\end{array} \right.$

Ta có: $y\left( 0 \right) = 4$, $y\left( 1 \right) = 3$, $y\left( 2 \right) = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $A=4$, $a=3$. khi đó $a+A=3+4=7$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$y\' = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0$

Ta có: ${m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0$, vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\,m} \right)$; $\left( {m;\, + \infty } \right)$.

Vậy $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$

Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên $\left[ {0;\,4} \right]$ bằng $-6$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\nf\left( 4 \right) = - 6\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n\frac{{3 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 6\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n{m^2} + 6m - 27 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\n\left[ \begin{array}{l}\nm = 3\\\nm = - 9\n\end{array} \right.\n\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 9$.

Vậy chỉ có 1 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hàm số xác định và liên tục trên $D = \left[ {0;5} \right]$

$y’ = 6{x^2} - 6x$.

$y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in D\\ x = 1 \in D \end{array} \right.$

Ta có: $f\left( 0 \right) = m$, $f\left( 1 \right) = m - 1$, $f\left( 5 \right) = 175 + m$.

Nhận thấy $f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right) > f\left( 1 \right),\;\forall m \in\mathbb{R}$ nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = m - 1$

Theo đề ta có: $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow m - 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\'\left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right) - \left( {{x^2} - 3x + 6} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$f\'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3 \in \left[ {2;\,4} \right]\\\nx = - 1 \notin \left[ {2;\,4} \right]\n\end{array} \right.$

$f\left( 2 \right) = 4$, .$f\left( 3 \right) = 3$, $f\left( 4 \right) = \frac{{10}}{3}$.

Vậy $M=4$, $m=3$. Khi đó $S=4+3=7$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. Đúng nhưng chưa đủ.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. Sai vì hàm số có GTLN bằng 1.

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Sai. vì hàm số có GTLN, GTNN.

Chọn A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số không có GTNN. Vậy mệnh đề sai là phương án D. $\mathop {\min }\limits_{\mathbb{R}} y = 3$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta có trong khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$  hàm số có một cực trị và điểm đó là điểm cực đại của hàm số. Vậy trong khoảng $\left( {0;\, + \infty } \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ hay $\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vận tốc tại thời điểm t là: $v(t) = s’(t) = - \frac{3}{2}{t^2} + 18t.$

$v’(t) = - 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6$

Vậy vận tốc lớn nhất của vật bằng 54 (m/s) tại  $t=6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\'\left( t \right) = - 3{t^2} + 60t$

$f\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 0\\\nt = 20\n\end{array} \right.$

Ta có: $f\left( 0 \right) = f\left( {30} \right) = 1000$

$f\left( {20} \right) = 5000$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;30} \right]} f\left( t \right) = 5000$ tại $t=20$ phút.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}},\,t > 0$

$c\'\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}$

$c\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {t^2} + 1}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} c\left( t \right) = \frac{1}{2}$ tại $t=1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$f\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)\sqrt {{x^2} + 4}$

$f\'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 6x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}$

$f\'\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow f\'\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 6x + 4}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 0$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1 \in \left[ {0;\,3} \right]\\\nx = 2 \in \left[ {0;\,3} \right]\n\end{array} \right.$.

Ta có: $f\left( 0 \right) = - 12$, $f\left( 1 \right) = - 5\sqrt 5 $, $f\left( 2 \right) = - 8\sqrt 2 {\kern 1pt} {\kern 1pt} $, $f\left( 3 \right) = - 3\sqrt {13} $.

Vậy $m = - 12{\kern 1pt} {\kern 1pt}$, $M = - 3\sqrt {13}$$\Rightarrow a = - 12;\,b = 3;\,c = 13$

Khi đó: $a + b + c = 4.$