Bài tập cơ bản bài Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Home Lớp 12 Toán lớp 12 Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình họcBài tập cơ bản

Chọn đáp án đúng

Kí hiệu $(H)$ là thình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x-{x^2}$ và $y = 0$. Tính thể tích vật tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng $(H)$ khi nó quay quanh trục $Ox$

A. $\frac{{16\pi }}{{15}}$

B. $\frac{{17\pi }}{{15}}$

C. $\frac{{18\pi }}{{15}}$

D. $\frac{{19\pi }}{{15}}$

(Xem gợi ý)

Thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét phương trình $2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.$

Thể tích của vật thể là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{16\pi }}{{15}}$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ $( a < b)$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành được tính theo công thức:

A. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}} \left( x \right){\rm{d}}x$

B. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}} \left( x \right){\rm{d}}x$

C. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b f \left( x \right){\rm{d}}x$

D. $V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}} \left( x \right){\rm{d}}x$

(Xem gợi ý)

Lý thuyết SGK

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $. Chọn A

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;{\mkern 1mu} b} \right]$. Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đường cong $y = f\left( x \right)$, trục hoành và các đường thẳng $x=a, x=b$ $( a < b )$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

A. $S = \int\limits_b^a {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

B. $S = \left| {\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right|$

C. $S = \int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

D. $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

Lý thuyết SGK

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $ chọn D

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0;x= \pi$, đồ thị hàm số $y = \cos x$ và trục $Ox$ là:

A. $S = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {\cos x\;{\rm{d}}x} $

B. $S = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\;{\rm{d}}x} $

C. $S = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {\left| {\cos x} \right|{\rm{d}}x} $

D. $S = \pi \int\limits_0^{\rm{\pi }} {\left| {\cos x} \right|{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {\left| {\cos x} \right|{\rm{d}}x} $. Chọn C

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \sqrt x $, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=1; x=4$ khi quay quanh trục hoành được tính bởi công thức nào?

A. $V = \pi \int\limits_1^4 {x{\rm{d}}x} $

B. $V = \int\limits_1^4 {\left| {\sqrt x } \right|{\rm{d}}x} $

C. $V = {\pi ^2}\int\limits_1^4 {x{\rm{d}}x} $

D. $V = \pi \int\limits_1^4 {\sqrt x {\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} = V = \pi \int\limits_1^4 {x{\rm{d}}x} $

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$, $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x=a, x=b$. Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

B. $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

C. $V = \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

D. $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {{{\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

$V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: $V = {\rm{\pi }}\int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} $

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{{\rm{e}}^x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=-2, x=3$ có công thức tính là:

A. $S = \int\limits_{ - 2}^3 {x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} $

B. $S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{{\rm{e}}^x}} \right|{\rm{d}}x} $

C. $S = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} } \right|$

D. $S = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{{\rm{e}}^x}} \right|{\rm{d}}x} $

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ${f_1}\left( x \right)$ và ${f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right]$ và hai đường thẳng $x=a, x=b$ ( hình bên dưới). Công thức tính diện tích cua hình $(H)$ là

A. $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

B. $S = \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right){\rm{d}}x} $

C. $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

D. $S = \int\limits_a^b {{f_2}\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right){\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $. Chọn A

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành, các đường thẳng $x=1, x=2$ là

A. $S = \frac{7}{3}$

B. $S = \frac{8}{3}$

C. $S = 7$

D. $S = 8$

(Xem gợi ý)

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_1^2 {{x^2}{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {\tan x} $ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;\,x = \frac{\pi }{4}$ quay quanh trục hoành là:

A. $V = \frac{{\sqrt {\rm{\pi }} }}{4}$

B. $V = \frac{{{\rm{\pi }}\ln 2}}{2}$

C. $V = \frac{{{{\rm{\pi }}^2}}}{4}$

D. $V = \frac{{\rm{\pi }}}{4}$

(Xem gợi ý)

Thể tích khối tròn xoay $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $V = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} {\tan x{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}{\rm{d}}x} = - {\rm{\pi }}\left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} = \frac{{{\rm{\pi }}\ln 2}}{2}$

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0, x=1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$ là:

A. $\frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$

B. $\pi \left( {{e^2} + 1} \right)$

C. $\frac{\pi }{2}\left( {{e^2} + 1} \right)$

D. $\pi \left( {{e^2} - 1} \right)$

(Xem gợi ý)

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \left. {\frac{\pi }{2}{e^{2x}}} \right|_0^1 = \frac{\pi }{2}\left( {{e^2} - 1} \right)$

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2},y = 2{x^2} - 2x$?

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. 2

D. 4

(Xem gợi ý)

Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích hình phẳng.

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} = 2{x^2} - 2x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 0}\\\n{x = 2}\n\end{array}} \right.$

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_0^2 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \frac{4}{3}$

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=a, x=b$ ( như hình vẽ bên dưới)

Giả sử ${S_D}$ là diện tích hình phẳng $D$. Chọn phương án đúng trong các phương án sau:

A. ${S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

B. ${S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

C. ${S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

D. ${S_D} = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị cắt trục hoành tại $O\left( {0;0} \right)$

Ta có: ${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}} x = - \int\limits_a^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2} + 3$ và $y = 4x$. Xác định mệnh đề đúng?

A. $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} $

B. $S = \int\limits_1^3 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} $

C. $S = \int\limits_1^3 {\left( {\left| {{x^2} + 3} \right| - \left| {4x} \right|} \right){\rm{d}}x} $

D. $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 3 = 4x \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 1}\\\n{x = 3}\n\end{array}} \right.$

Diện tích hình phẳng: $S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x} $

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=2$. Quay hình $(H)$ quanh trục hoành ta được vật thể có thể tích bằng:

A. $\frac{{9\pi }}{2}$

B. $\frac{{7\pi }}{3}$

C. $\frac{{5\pi }}{{31}}$

D. $\frac{{31\pi }}{5}$

(Xem gợi ý)

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_1^2 {{x^4}{\rm{d}}x} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5}} \right)\,} \right|_1^2 = \frac{\pi }{5}\left( {32 - 1} \right) = \frac{{31\pi }}{5}$

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị $y = \left( {2x - 1} \right)\sqrt {\ln x} $, trục hoành và đường thẳng $x = e$. Khi hình phẳng $D$ quay quanh trục hoành được vật thể tròn xoay có thể tích $V$ được tính theo công thức

A. $V = \int\limits_1^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $

B. $V = \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $

C. $V = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $

D. $V = \pi \int\limits_1^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính thể tích.

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

TXĐ: $D = \left[ {1; + \infty } \right)$

Phương trình hoành độ giao điểm $\left( {2x - 1} \right)\sqrt {\ln x} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{1}{2}\, \notin D\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}}\\ {x = 1\, \in D\,\,\,\,{\rm{ }}} \end{array}} \right.$

Thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int\limits_1^{\rm{e}} {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\ln x{\rm{d}}x} $

Diện tích hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ $(a < b)$ (phần tô đậm của hình vẽ) tính theo công thức:

A. $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} $

B. $S = - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $

C. $S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right|$

D. $S = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $

(Xem gợi ý)

$S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị hàm số cặt trục hoành tại điểm: $(c; 0)$

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^c {\left[ {0 - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x + \int\limits_c^b {\left[ {f\left( x \right) - 0} \right]{\rm{d}}x = } } - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} } $

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x$ và $y = - {x^2} + 4x$ là:

A. 9

B. 18

C. 27

D. 51

(Xem gợi ý)

Giải phương trình hoành độ giao điểm và tính diện tích

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} - 2x = - {x^2} + 4x \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 0\\\nx = 3\n\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng: $S = \int_0^3 {\left| {{x^2} - 2x + {x^2} - 4x} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^3 {\left| {2{x^2} - 6x} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^3 {\left( { - 2{x^2} + 6x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( { - \frac{2}{3}{x^3} + 3{x^2}} \right)} \right|_0^3 = - 18 + 27 = 9$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = - {x^2} + 4$, trục hoành và các đường thẳng $x=0, x=3$ là:

A. 1

B. $\frac{{23}}{3}$

C. $\frac{{25}}{3}$

D. $\frac{{32}}{3}$

(Xem gợi ý)

Diện tích hình phẳng $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $S = \int_0^3 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} + \int_2^3 {\left| { - {x^2} + 4} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right){\rm{d}}x + \int_2^3 {\left( {{x^2} - 4} \right){\rm{d}}x} } $

$ = \left. {\left( { - \frac{1}{3}{x^3} + 4x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} - 4x} \right)} \right|_2^3 = - \frac{8}{3} + 8 + 9 - 12 - \frac{8}{3} + 8 = \frac{{23}}{3}$

Cho hai hàm số $y = {f_1}\left( x \right)$ và $y = {f_2}\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;\,b} \right]$ và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi $(S)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng $x=a, x=b$. Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $(S)$ xung quanh trục được tính bởi công thức nào dưới đây?

A. $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $

B. $V = \int\limits_a^b {\left[ {f_2^2\left( x \right) - f_1^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $

C. $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $

D. $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]}^2}\,{\rm{d}}x} $

(Xem gợi ý)

$V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dựa vào đồ thị ta có: $V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right]\,{\rm{d}}x} $. Chọn A

Bài tập

Câu hỏi số 1/20

17:03

Điểm: 0

trên tổng số 100

Góp ý - Báo lỗi

Điểm của bạn.Mỗi câu trả lời đúng được

Câu hỏi này theo dạng chọn đáp án đúng, sau khi đọc xong câu hỏi, bạn bấm vào một trong số các đáp án mà chương trình đưa ra bên dưới, sau đó bấm vào nút gửi để kiểm tra đáp án và sẵn sàng chuyển sang câu hỏi kế tiếp

Trả lời đúng trong khoảng thời gian quy định bạn sẽ được + số điểm như sau:
Trong khoảng 5 phút đầu tiên	+ 5 điểm
Trong khoảng 5 phút -> 10 phút	+ 4 điểm
Trong khoảng 10 phút -> 15 phút	+ 3 điểm
Trong khoảng 15 phút -> 20 phút	+ 2 điểm
Trên 20 phút	+ 1 điểm

Tổng thời gian làm mỗi câu (không giới hạn)

Điểm của bạn.

Bấm vào đây nếu phát hiện có lỗi hoặc muốn gửi góp ý

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Em chưa làm xong câu này