Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow {3.3^{2x}} - {4.3^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{3^x} = 1}\\\n{{3^x} = \frac{1}{3}}\n\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 0}\\\n{x = - 1}\n\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow {x_1} = - 1,\,{x_2} = 0$. Vậy ${x_1} + 2{x_2} = - 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${\log _2}{2^{x - 3}} = {\log _2}{3^{{x^2} - 5x + 6}}$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right){\log _2}2 = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right){\log _2}3 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right){\log _2}3 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right).\left[ {1 - \left( {x - 2} \right){{\log }_2}3} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx - 3 = 0\\\n1 - \left( {x - 2} \right){\log _2}3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\n\left( {x - 2} \right){\log _2}3 = 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nx - 2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}}\n\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nx = {\log _3}2 + 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nx = {\log _3}2 + {\log _3}9\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3\\\nx = {\log _3}18\n\end{array} \right.$

Vậy ${x_1} = {\log _3}18$, ${x_2} = 3$. Khi đó $3{x_1} - 2{x_2} = {\log _3}8$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${2^{{x^2} + 4}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{2^{2\left( {{x^2} + 2} \right)}} - {2^{{x^2} + 3}} + 1} \Leftrightarrow {8.2^{{x^2} + 1}} = {2^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} + \sqrt {{{4.2}^{2\left( {{x^2} + 1} \right)}} - {{4.2}^{{x^2} + 1}} + 1} $

Đặt $t = {2^{{x^2} + 1}}\left( {t \ge 2} \right)$

$8t = {t^2} + \sqrt {4{t^2} - 4t + 1} \Leftrightarrow {t^2} - 6t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + \sqrt {10} $, vì $t \ge 2$ nên:

${2^{{x^2} + 1}} = 3 + \sqrt {10} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x_1} = \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \\\n{x_2} = - \sqrt {{{\log }_2}\frac{{3 + \sqrt {10} }}{2}} \n\end{array} \right.$

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng 0.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {4^x}$. Phương trình đã cho đương tương với: $\underbrace {\left( {m + 1} \right){t^2} - 2\left( {2m - 3} \right)t + 6m + 5}_{f\left( t \right)} = 0.(*)$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm ${t_1}, {t_2}$ thỏa mãn $0 < {t_1} < 1 < {t_2}$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm + 1 \ne 0\\\n\left( {m + 1} \right)f\left( 1 \right) < 0\\\n\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nm + 1 \ne 0\\\n\left( {m + 1} \right)\left( {3m + 12} \right) < 0\\\n\left( {m + 1} \right)\left( {6m + 5} \right) > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < - 1.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2m = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2m{.2^x} + 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)$

Đặt $t = {2^x}$ ta được: $\left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2mt + 2m = 0\,\left( {**} \right)$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow {m^2} - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nm \ge 2\\\nm \le 0\n\end{array} \right.$

Theo hệ thức vi -ét ta có: ${t_1}.{t_2} = 2m,\,\,{t_1} + {t_2} = 2m$

Theo đề ta có: 

${x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} = 3 \Leftrightarrow {\log _2}{t_1}.{t_2} = 3 \Leftrightarrow {\log _2}2m = 3 \Leftrightarrow 2m = 8 \Leftrightarrow m = 4$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^x}}} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2x}} - 2\sqrt 2 {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = \sqrt 2 - 1\\\n{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = \sqrt 2 + 1\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = - 1\\\nx = 1\n\end{array} \right.$.

Vậy tích các nghiệm bằng $-1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Phương trình:  $ \Leftrightarrow {3^{4\left| {x - 1} \right|}} = {3^{4\left( {m - 1} \right)}} \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = m - 1$.

Để phương trình vô nghiệm thì $ \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${\log _y}x + {\log _x}y = \frac{{10}}{3} \Leftrightarrow {\log _x}y + \frac{1}{{{{\log }_x}y}} = \frac{{10}}{3}$

$ \Leftrightarrow \log _x^2y - \frac{{10}}{3}{\log _x}y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{\log _x}y = 3\\\n{\log _x}y = \frac{1}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ny = {x^3}\\\nx = {y^3}\n\end{array} \right.$
Với: $y = {x^3} \Rightarrow {x^4} = 144 \Rightarrow x = \sqrt {12} \Rightarrow y = 12\sqrt {12} \Rightarrow \frac{{x + y}}{2} = 13\sqrt 3 $

Với: $x = {y^3} \Rightarrow {y^4} = 144 \Rightarrow y = \sqrt {12} \Rightarrow x = 12\sqrt {12} \Rightarrow \frac{{x + y}}{2} = 13\sqrt 3 $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$y’ = \left( {{x^2} + 2x} \right){e^x}$.

Cho $y’ < 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x} \right){e^x} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 3\n\end{array} \right. \Rightarrow A = \left\{ { - 3;{\rm{ }}1} \right\}$

Với điều kiện $x>0$ , phương trình ${\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow {\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1$

$ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 3\left( l \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\}$. Vậy $B \subset A$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện $x > 0$

$\log _2^2x - {\log _2}\left( {8x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x - \left( {{{\log }_2}8 + {{\log }_2}x} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x = 0$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}^2x - 5{\log _3}x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( { - {{\log }_3}x} \right)^2} - 5{\log _3}x + 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} - 5{\log _3}x + 6{\mkern 1mu} \left( 1 \right)$

Đặt $t = {\log _3}x$  

$ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 6 = \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 2\\\nt = 3\n\end{array} \right.$

Với $t = 2 \Rightarrow {\log _3}x = 2 \Rightarrow x = 9$

$t = 3 \Rightarrow {\log _3}x = 3 \Rightarrow x = 27$

Vậy $T=9+27=36$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${4^{2x - m}} = {8^x} \Leftrightarrow {\left( {{2^2}} \right)^{2x - m}} = {\left( {{2^3}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{4x - 2m}} = {2^{3x}} \Leftrightarrow 4x - 2m = 3x \Leftrightarrow x = 2m$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} - 13.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 9 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = \frac{9}{4}}\\\n{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = 1}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 2}\\\n{x = 0}\n\end{array}} \right.} \right.$. Vậy tổng các nghiệm $T=2$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\n{\log _2}x + 1 \ge 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nx > 0\\\nx \ge \frac{1}{2}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt {{{\log }_2}x + 1} = t,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow {\log _2}x = {t^2} - 1$ ta có phương trình:

${\left( {{t^2} - 1} \right)^2} + t = 1 \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^2} + t = 0 \Leftrightarrow t\left( {{t^3} - 2t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 0{\rm{ }}\\\nt = 1{\rm{ }}\\\nt = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}{\rm{ }}\\\nt = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}{\rm{ }}\left( l \right)\n\end{array} \right.$

Với $t = 0$ thì ${\log _2}x = - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}}$

Với $t = 1$ thì ${\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = {2^0}$

Với $t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$ thì ${\log _2}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow x = {2^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}}$

Vậy tích tất cả các nghiệm bằng ${2^{\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {2^x}$, $x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow t \in \left( {1;4} \right)$ 

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = m$ 

Xét hàm  $f\left( t \right) = {t^2} - 3t + 2$, có $f\'\left( t \right) = 2t - 3$

$f\'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;2} \right)$ khi $ - \frac{1}{4} \le m < 6$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\n0 < x \neq 1\\\n\frac{5}{{12}} < x < \frac{2}{3}\n\end{array} \right.$

Ta có:

${\log _x}4.{\log _2}\left( {\frac{{5 - 12x}}{{12x - 8}}} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\frac{{5 - 12x}}{{12x - 8}}} \right) = {\log _2}x \Leftrightarrow \frac{{5 - 12x}}{{12x - 8}} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = \frac{1}{2}\\\nx = - \frac{5}{6}\left( l \right)\n\end{array} \right.$

Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm thực.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

${5^{{x^2} - 3x + 2}} = {3^{x - 2}} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = \left( {x - 2} \right){\log _5}3 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1 - {{\log }_5}3} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = 1 + {\log _5}3\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = {\log _5}15\n\end{array} \right.$

Vậy $a=5, b=15$.

Vậy $a+2b=35$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $x>0$

Đặt $t = \log x$ 

Phương trình đã cho tương đương $\,4.\,3{\,^{2 + 2t}} + 9.\,{4^{1 + t}} = 13.\,{6^{1 + t}}$

$ \Leftrightarrow \,\,4.\,9{\,^{1 + t}} + 9.\,{4^{1 + t}} = 13.\,{6^{1 + t}}\, \Leftrightarrow \,\,4.\,\,{\left( {\frac{9}{4}} \right)^{1 + t}} + 9 - 13.\,{\left( {\frac{6}{4}} \right)^{1 + t}} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{\,\,{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{t + 1}} = 1\,\,\,}\\\n{\,{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{t + 1}} = \frac{9}{4}}\n\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{t = - 1}\\\n{t = 1}\n\end{array}} \right.} \right.$

Với $t = - 1$$ \Leftrightarrow \log x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{10}}$

Với $t = 1 \Leftrightarrow \log x = 1 \Leftrightarrow x = 10$.

Vậy tích của hai nghiệm bằng 1.