Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\log _3^2x - 3{\log _3}x + 2m - 7 = 0$ (1)

Điều kiện $x>0$

Đặt $t = {\log _3}x \Leftrightarrow x = {3^t}$, phương trình đã cho tương đương ${t^2} - 3t + 2m - 7 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phuong trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

$ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 37 - 8m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{37}}{8}$

Áp dụng hệ thức vi -ét cho phương trình (2) ta được: ${t_1} + {t_2} = 3;\,{t_1}.{t_2} = 2m - 7$$ \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = {3^3} = 27$ (3)

Theo đề ta có: 

$\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 72 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 63 \Leftrightarrow {3^3} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 63 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 12$(4)

Từ (3), (4) ta được $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{x = 9}\\\n{x = 3}\n\end{array}} \right.$

Với $x=9$ thì $\log _3^29 - 3{\log _3}9 + 2m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{9}{2}.$ (nhận).

Với $x=3$ thì $\log _3^23 - 3{\log _3}3 + 2m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{9}{2}.$ (nhận).

Vậy $m = \frac{9}{2}.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $x>0$

Ta có: ${\log _2}^2x - \left( {{m^2} - 3m} \right){\log _2}x + 3 = 0\quad \left( 1 \right)$

Đặt $t = {\log _2}x$.

Phương trình đã cho tương đương: ${t^2} - \left( {{m^2} - 3m} \right)t + 3 = 0\quad \left( 2 \right)$
Theo vi - ét ta có: ${t_1} + {t_2} = {m^2} - 3m;\,\,\,{t_1}.{t_2} = 3$

Theo đề ta có: ${x_1}.{x_2} = 16 \Leftrightarrow {\log _2}{x_1}.{x_2} = {\log _2}16 \Leftrightarrow {\log _2}{x_1} + {\log _2}{x_2} = 4$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_1}.{x_2} = 16$ khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt ${t_1},{t_2}$ thỏa mãn ${t_1}+{t_2}=4$$ \Leftrightarrow {m^2} - 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\n{m = - 1}\\\n{m = 4\,}\n\end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử ${\log _6}x = {\log _9}y = {\log _4}\left( {2x + 2y} \right) = t$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\nx = {6^t} & (1)\\\ny = {9^t} & (2)\\\n2x + 2y = {4^t} & (3)\n\end{array} \right.$. Khi đó $\frac{x}{y} = \frac{{{6^t}}}{{{9^t}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} > 0$

Lấy (1), (2) thay vào (3) ta được: 

 ${2.6^t} + {2.9^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2t}} - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 1 + \sqrt 3 = \frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\,\,\\\n{\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 1 - \sqrt 3 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(l)\n\end{array} \right.$

Vậy $\frac{x}{y} = \frac{2}{{\sqrt 3 - 1}}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $x > \sqrt {{x^2} - 1} $$ \Leftrightarrow x \ge 1$

Đặt $t = {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ thì $t\' = \frac{{1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}}}{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }}.\frac{1}{{\ln 2}} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} - x}}{{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\sqrt {{x^2} - 1} }}.\frac{1}{{\ln 2}}$$ = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} \ln 2}} < 0$

Do $x > 2 \Rightarrow t < {\log _2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)$

Phương trình trở thành $t.{\log _5}{2^t} = {\log _m}\frac{1}{{{2^t}}} \Leftrightarrow t.{\log _5}2 = - {\log _m}2 \Leftrightarrow {\log _5}m = - \frac{1}{t}$

Theo yêu cầu bài toán ta có: ${\log _5}m < - \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} \Leftrightarrow m < {5^{ - \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}}}$. Vậy $m=2$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\nx \ne 0\\\nx \ne 1\n\end{array} \right.$

Ta có: ${\log _{49}}{x^2} + \frac{1}{2}{\log _7}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\log _7}\left( {{{\log }_{\sqrt 3 }}3} \right) \Leftrightarrow {\log _7}\left| x \right| + {\log _7}\left| {x - 1} \right| = {\log _7}2$

$ \Leftrightarrow {\log _7}\left| {x\left( {x - 1} \right)} \right| = {\log _7}2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx\left( {x - 1} \right) = 2\\\nx\left( {x - 1} \right) = - 2\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n{x^2} - x - 2 = 0\\\n{x^2} - x + 2 = 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 2\\\nx = - 1\n\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${4^x} + {2^x} + 4 = {3^m}\left( {{2^x} + 1} \right) \Leftrightarrow {4^x} + \left( {1 - {3^m}} \right){2^x} + 4 - {3^m} = 0$

Đặt $t = {2^x} > 0$, $n = {3^m} > 0$ ta tìm $n > 0$ để phương trình ${t^2} + \left( {1 - n} \right)t + 4 - n = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}\n\Delta > 0\\\nS > 0\\\nP > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{\left( {1 - n} \right)^2} - 4\left( {4 - n} \right) > 0\\\nn - 1 > 0\\\n4 - n > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{n^2} + 2n - 15 > 0\\\nn > 1\\\nn < 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\left[ \begin{array}{l}\nn < - 5\\\nn > 3\n\end{array} \right.\\\n1 < n < 4\n\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < n < 4$

Vậy $3 < {3^m} < 4 \Leftrightarrow 1 < m < {\log _3}4$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: ${\log _5}\left( {\frac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) - {\log _5}5\left( {a + b} \right) = 5\left( {a + b} \right) - \left( {4a + 2b + 5} \right)$

$ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) + \left( {4a + 2b + 5} \right) = {\log _5}5\left( {a + b} \right) + 5\left( {a + b} \right)$

Hàm số $f\left( t \right) = {\log _5}t + t\left( {t > 0} \right)$ có $f\'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0$

Vậy $f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên TXĐ.

$ \Leftrightarrow f\left( {4a + 2b + 5} \right) = f\left( {5\left( {a + b} \right)} \right) \Leftrightarrow 4a + 2b + 5 = 5\left( {a + b} \right)$

$ \Leftrightarrow 4a + 2b + 5 = 5\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow a = 5 - 3b$

$T = {a^2} + {b^2} \Rightarrow T = {\left( {5 - 3b} \right)^2} + {b^2} = 10{b^2} - 30b + 25 = 10{\left( {b - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{5}{2} \ge \frac{5}{2}$

Vậy CTNN bằng $\frac{5}{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\n{x^4} - 14{x^3} + 100{x^2} - 12x + 25 > 0\\\n39{x^2} + 70x + 3 > 0\n\end{array} \right.\;\left( 1 \right)$

Ta có:

${\log _2}\left( {{x^4} - 14{x^3} + 100{x^2} - 12x + 25} \right) = 4{\log _{16}}\left( {39{x^2} + 70x + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^4} - 14{x^3} + 100{x^2} - 12x + 25} \right) = {\log _2}\left( {39{x^2} + 70x + 3} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^4} - 14{x^3} + 100{x^2} - 12x + 25 = 39{x^2} + 70x + 3$

$ \Leftrightarrow {x^4} - 14{x^3} + 61{x^2} - 82x + 22 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x + 2} \right)\left( {{x^2} - 8x + 11} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 3 \pm \sqrt 7 \\\nx = 4 \pm \sqrt 5 \n\end{array} \right.$ thỏa (1).

Vậy $b = 4 - \sqrt 5 ,\,d = 4 + \sqrt 5 $.

$ \Rightarrow P = {b^2} + {d^2} = 42$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đặt $t = {2^{\left| {x - 1} \right|}}$

Khi đó được phương trình $2{t^2} + t + m = 0$ (1)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép $t=1$ hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $t=1$ và một nghiệm $t<1$.

Phương trình (1) có nghiệm $t=1$ $\Rightarrow 2 + 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Thử lại. Với $m = - 3$ ta được: $2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nt = 1\\\nt = - \frac{3}{2}\n\end{array} \right.$

Suy ra $m = - 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.