Ôn tập: So sánh hai phân số - Toán lớp 5

1. So sánh phân số cùng mẫu số

Trong hai phân số cùng mẫu số:
    Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
    Ví dụ: $\frac{2}{5}$ <  $\frac{3}{5}$       

    Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
    Ví dụ: $\frac{2}{3}$ >  $\frac{1}{3}$

    Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
    Ví dụ: $\frac{2}{5}$ = $\frac{2}{5}$             

2. So sánh phân số cùng tử số

Trong hai phân số cùng tử số:
 + Phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
    Ví dụ: $\frac{2}{5}$ >  $\frac{2}{6}$             

 + Phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn.
    Ví dụ: $\frac{5}{8}$ <  $\frac{5}{3}$

 + Nếu mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
    Ví dụ: $\frac{7}{9}$ = $\frac{7}{9}$             

3. So sánh phân số khác mẫu số

Cách 1.  Quy đồng mẫu số hai phân số rồi so sánh các tử số của chúng.

- Bước 1:  Quy đồng mẫu số của hai phân số
                  (đưa các phân số về cùng mẫu số)

- Bước 2: So sánh tử số của hai phân số cùng mẫu số đã quy đồng.

    Trong hai phân số có cùng mẫu số:

    + phân số nào có tử số nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
    + phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

Ví dụ 1: So sánh hai phân số $\frac{2}{5}$ và $\frac{4}{7}$.
- Bước 1:  Quy đồng mẫu số hai phân số trên:
Ta thấy 35 chia hết cho cả 5 và 7, nên ta chọn MSC là 35
35 : 5 = 7,  nhân cả tử số và mẫu số của $\frac{2}{5}$ với 7:
$\frac{2}{5} = \frac{2\times7}{5\times7} = \frac{14}{35} $
35 : 7 = 5,  nhân cả tử số và mẫu số của $\frac{4}{7}$ với 5:

$\frac{4}{7} = \frac{4\times5}{7\times5} = \frac{20}{35} $

- Bước 2: So sánh hai phân số cùng mẫu số đã quy đồng.
Vì 14 < 20 nên  $\frac{14}{35}$ <  $\frac{20}{35}$  
Vậy $\frac{2}{5}$ <  $\frac{4}{7}$.

Cách 2.  Quy đồng tử số hai phân số rồi so sánh các mẫu số của chúng.

- Bước 1: Quy đồng tử số (đưa về cùng tử số)
 + Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân tử số của phân số thứ hai.

+ Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân tử số của phân số thứ nhất.

- Bước 2: So sánh mẫu số của hai phân số đã quy đồng
                 Trong hai phân số có cùng tử số:
                  + phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn 
                  + phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn

Ví dụ 2: So sánh hai phân số $\frac{1}{2}$ và $\frac{2}{3}$.
- Lấy tử số và mẫu số của phân số $\frac{1}{2}$ nhân tử số của phân số thứ hai:
$\frac{1}{2} = \frac{1\times2}{2\times2} = \frac{2}{4} $
- Lấy tử số và mẫu số của phân số $\frac{2}{3}$ nhân tử số của phân số thứ nhất:
$\frac{2}{3} = \frac{2\times1}{3\times1} = \frac{2}{3} $
- So sánh hai phân số đã quy đồng:
Vì 4 > 3 nên $\frac{2}{4}$ < $\frac{2}{3}$         Vậy: $\frac{1}{2}$ < $\frac{2}{3}$

Một số cách so sánh khác.  

Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu số hoặc tử số, trong một số trường hợp cụ thể, tùy theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phương pháp đặc biệt khác, có thể tham khảo các cách so sánh sau đây:
 

Cách 3. Chọn số 1 làm trung gian để so sánh.

- Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó nhỏ hơn 1.
vd: $\frac{3}{5}$ < 1 (vì 3 < 5)
- Phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1.
vd: $\frac{5}{3}$ > 1 (vì 5 > 3)
- Phân số nào có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
vd: $\frac{5}{5}$ = 1 (vì tử số = mẫu số = 5)
• Khi nào thì sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian ? 
Ta sử dụng phương pháp dùng số 1 làm trung gian khi nhận thấy một phân số có tử số lớn hơn mẫu số và phân số kia có tử số bé hơn mẫu số.

 
Cách 4: Chọn một phân số làm trung gian để so sánh.

- Phân số trung gian có thể là sự kết hợp giữa tử số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai (hoặc ngược lại).
- Sau đó, so sánh hai phân số ban đầu với cùng một phân số trung gian.
Xét ví dụ cụ thể sau đây:
Ví dụ : So sánh hai phân số $\frac{27}{34}$ và $\frac{29}{31}$.
- Phân số trung gian là: $\frac{27}{31}$

- Ta thấy: $\frac{27}{34}$ <  $\frac{27}{31}$    ;     $\frac{29}{31}$ >  $\frac{27}{31}$

Nên: $\frac{27}{34}$ <  $\frac{27}{31}$ <  $\frac{29}{31}$

Vậy: $\frac{27}{34}$ <  $\frac{29}{31}$

• Khi nào thì sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung gian ? 
Ta sử dụng phương pháp dùng một phân số làm trung gian để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau: 
- Nhận thấy tử số của phân số thứ nhất bé hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai. 
- Nhận thấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất bé hơn tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhưng cả hai phân số đều xấp xỉ (gần bằng) với một phân số nào đó thì ta chọn phân số đó làm trung gian.

Cách 5: So sánh bằng phần bù

Sử dụng cách so sánh bằng phần bù khi:

- Nhận thấy tất cả các phân số đều có mẫu số lớn hơn tử số (phân số bé hơn 1) và hiệu của mẫu số với tử số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần bù với 1.

- Lưu ý: Phần bù với 1 của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.

- Trong hai phân số , phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

- Các bước tiến hành:

+ Bước 1: Tìm phần bù của hai phân số

+ Bước 2: So sánh hai phần bù với nhau

+ Bước 3: Kết luận

Ví dụ:  So sánh hai phân số $\frac{997}{998}$ và $\frac{998}{999}$.

Phần bù của $\frac{997}{998}$là:  1 - $\frac{997}{998}$= $\frac{1}{998}$

Phần bù của $\frac{998}{999}$ là:  1 - $\frac{998}{999}$= $\frac{1}{999}$

Ta thấy   $\frac{1}{998}$ > $\frac{1}{999}$    Vậy  $\frac{997}{998}$ < $\frac{998}{999}$.

Cách 6: So sánh bằng phần hơn

Sử dụng cách so sánh bằng phần hơn khi:

- Nhận thấy tất cả các phân số đều có tử số lớn hơn mẫu số (phân số lớn hơn 1) và hiệu của tử số với mẫu số đều bằng nhau hoặc nhỏ thì ta tìm phần hơn với 1.

- Lưu ý: Phần hơn với 1 của phân số là hiệu giữa phân số đó và 1.

- Trong hai phân số , phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại phân số nào có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.

- Các bước tiến hành:

+ Bước 1: Tìm phần hơn của hai phân số

+ Bước 2: So sánh hai phần hơn với nhau

+ Bước 3: Kết luận

Ví dụ:  So sánh hai phân số $\frac{335}{333}$ và $\frac{279}{277}$.

Phần hơn của $\frac{335}{333}$  là: $\frac{335}{333}$ - 1 = $\frac{2}{333}$

Phần hơn của $\frac{279}{277}$  là:  $\frac{279}{277}$ - 1 = $\frac{2}{277}$

Ta thấy $\frac{2}{333}$ <  $\frac{2}{277}$  Vậy  $\frac{335}{333}$ <  $\frac{279}{277}$

* Còn rất nhiều cách so sánh khác, tùy từng trường hợp để chúng ta sử dụng một cách hợp lý và hiệu quả.