Kiểm tra học kỳ 1 - Toán lớp 7 - Sách kết nối tri thức

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Để cộng trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
   • Viết x,y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (quy đồng mẫu số dương)
   • Thực hiện phép cộng trừ (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu)
Chú ý:
   + Rút gọn các phân thức trước khi tính.
   + Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số 0 như trong tập hợp Z.
   + Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối, kí hiệu là -x, sao cho: x + (-x) = 0
   + Số đối  $\frac{a}{b} là -\frac{a}{b}$

2. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu của số hạng đó.
Với x, y, z, t ∈ Q, ta có: x + y = z - t ⇒ x + t = z - y.

3. Nhân hai số hữu tỉ

Tích của hai số hữu tỉ $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$  được xác định như sau:

$x.y=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$ với $b,d\neq0$
Chú ý:
   + Thu gọn kết quả trong quá trình tính nhân.
   + Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:mang dấu "+" nếu thừa số âm chẵn, mang dấu "-" nếu thừa số âm lẻ.

4. Chia hai số hữu tỉ

Với hai số  $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ ( $y\neq0$ )

ta có: $x:y=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ 
 
Chú ý:
   + Mỗi số hữu tỷ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là $\frac{1}{y}$  . Số nghịch đảo của $\frac{a}{b}$ là $\frac{b}{a}$ (với a,b ≠ 0)
   + Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là $\frac{x}{y}$ hoặc x:y.

5. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được kí hiệu là |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số.
   + Nếu x > 0 thì |x| = x.
   + Nếu x = 0 thì |x| = 0.
   + Nếu x < 0 thì |x| = -x.
Từ định nghĩa trên ta có thể viết như sau:$\mid x\mid=\begin{cases}x & nếu & x \geq 0\\-x & nếu &x < 0\end{cases}$
Chú ý: Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0, |x| = |-x|, |x| > x.

6. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

   + Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
   + Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y ≠ 0), ta áp dụng quy tắc: Thương của hai số thập phân x và y là thương của |x| và |y| với dấu "+" đằng trước nếu x,y cùng dấu, với dấu "-" nếu x,y trái dấu.

7. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỷ x, kí hiệu là xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).

Với x ∈ Q, n ∈ N, n > 1 ta có: $x^{n}=\underbrace{x.x...x}$ ( n thừa số $x$ )

Quy ước: $x^{1}=x $ với $x\in Q; x^{0}=1$  với $x\neq 0$

8. Các phép toán về lũy thừa

- Tích hai lũy thừa cùng cơ số: $x^{m}.x^{n}=x^{m+n} (x\in Q;m,n\in N)$

- Thương hai lũy thừa cùng cơ số: $x^{m}.x^{n}=x^{m+n} (x\in Q;m,n\in N; m\geq n)$

- Lũy thừa của lũy thừa: $(x^{m})^{n}=x^{m.n}(x\in Q; m,n\in N )$

- Lũy thừa của một tích:$(x.y)^{n}=x^n.y^n (x,y\in Q; n\in N )$

- Lũy thừa của một thương: $(\frac{x}{y})^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}$$(x,y\in Q; n\in N )$

- Lũy thừa số mũ nguyên âm: $x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$ với $(x\in Q, x\neq 0; n\in N^{*})$

9. Tính chất tỉ lệ thức

Tính chất 1 : (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)

Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì ad = bc

Tính chất 2:

Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$; $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$

10. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}(b\neq d; b\neq -d )$

Mở rộng:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{na+mc+pe}{nb+md+pf}$

( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Chú ý:

Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là:

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{d}$ hoặc x: y: z = a: b: c

11. Khái niệm về căn bậc hai

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² =a
Chú ý:
• Nếu a > 0 thì a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ , số âm kí hiệu là $-\sqrt{a}$.
• Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
• Số âm không có căn bậc hai.

12. Số thực

   + Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
   + Tập hợp các số thực được kí hiệu là R.
   + x ∈ R: x là một số thực

13. Định nghĩa đại lượng tỷ lệ thuận

   + Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ k.
   + Khi đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỷ lệ k (khác 0) thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$ và ta nói hai đại lượng đó tỷ lệ thuận với nhau.
Ví dụ: Nếu y = 5x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số 5, hay x tỉ lệ thuận với y theo hệ số $\frac{1}{5}$

14. Tính chất đại lượng tỷ lệ thuận

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:
   + Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi: $\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}=\frac{y_{3}}{x_{3}}=...=\frac{y_{n}}{x_{n}}=k$
   + Tỉ số hai giá trị bất kì của hai đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia: $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}};\frac{x_{1}}{x_{3}}=\frac{y_{1}}{x_{3}};...;\frac{x_{m}}{x_{n}}=\frac{y_{m}}{y_{n}}$

15. Định nghĩa tỉ lệ nghịch

   + Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay xy = a ( với a là hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a
   + Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau
Ví dụ: Nếu $y=\frac{-6}{x}$ thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỷ lệ là -6

16. Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:
   + Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi: x₁.y₁=x₂.y₂=...=x_n.y_n=a
   + Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỷ số hai giá trị truong ứng của đại lượng kia: $\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{2}}{y_{1}};\frac{x_{1}}{x_{3}}=\frac{y_{3}}{y_{1}};...$

17. Định nghĩa hàm số

Nếu đại lượng x phụ thuộc vào đại lượng y sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số x và x gọi là biến số.

Nhận xét: Nếu đại lượng y là hàm số của đại lượng x thì mỗi giá trị của đại lượng x đều có một giá trị tương ứng duy nhất của đại lượng y( hay mỗi giá trị của x không thể có hơn một giá trị tương ứng của đại lượng y)

Chú ý:

   + Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm bằng

   + Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng công thức,…

   + Khi y là hàm số của x ta có thể viết: y = f(x); y = g(x);...

Ví dụ:

Có các hàm số như sau: y f(x) = 2x; y g(x) = -x -3;$y = f(x) = \frac{-2}{3}x +2$;...

18. Mặt phẳng tọa độ

   + Mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy) được xác định bởi hai trục số vuong góc với nhau: trục hoành Ox và trục tung Oy; điểm O là gốc tọa độ

   + Hai trục tọa độ chia mặt phẳng tọa độ thành bốn góc phần tư I, II, III, IV theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

19. Tọa độ một điểm trên mặt phẳng tọa độ

   + Một điểm M xác định một cặp số (x₀; y₀). Ngược lại mỗi cặp số (x₀; y₀) xác định một điểm

   + Cặp số (x₀; y₀) gọi là tọa độ của điểm M, x₀ là hoành độ, y₀ là tung độ của điểm M

   + Điểm M có tọa độ (x₀; y₀) kí hiệu là M (x₀; y₀).

20. Đồ thị của hàm số y = f(x)

   + Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ

   + Một điểm H thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) thì có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y = f(x) và ngược lại

21. Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0)

   + Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

   + Cách vẽ: Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0;0) và A(1;a)

Ví dụ: Đồ thi hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm A(1;2)