Hệ thống lại các kiến thức trọng tâm của chương: các phép tính về số hữu tỉ, các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Khái niệm số vô tỉ, số thực, căn bậc hai.
• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với a, b ∈ Z và b ≠ 0
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q (x là số hữu tỉ thì ghi là x ∈ Q)
Để biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ (a,b ∈ Z; b > 0) trên trục số ta làm như sau:
• Chia từng đơn vị trên trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là $\frac{1}{b}$ được gọi là đơn vị mới .
• Nếu a > 0 thì phân số $\frac{a}{b}$ được biểu diễn bằng một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn bằng a lần đơn vị mới .
• Nếu a < 0 thì phân số $\frac{a}{b}$ được biểu diễn bằng một điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn bằng |a| lần đơn vị mới .
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
• Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương rồi đưa về so sánh hai phân số cùng mẫu.
• Số hữu tỉ lớn hớn 0 được gọi là số hữu tỉ dương.
• Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọc là số hữu tỉ âm.
• Số 0 không phải là số hữu tỉ dương cũng không phải là số hữu tỉ âm.
Nhận xét:
+ Số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ dương ($\frac{a}{b}>0$) thì a, b cùng dấu.
+ Số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ là số hữu tỉ âm ($\frac{a}{b}<0$) thì a, b trái dấu.
Để cộng trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
• Viết x,y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (quy đồng mẫu số dương)
• Thực hiện phép cộng trừ (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu)
Chú ý:
+ Rút gọn các phân thức trước khi tính.
+ Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số 0 như trong tập hợp Z.
+ Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối, kí hiệu là -x, sao cho: x + (-x) = 0
+ Số đối $\frac{a}{b} là -\frac{a}{b}$
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu của số hạng đó.
Với x, y, z, t ∈ Q, ta có: x + y = z - t ⇒ x + t = z - y.
Tích của hai số hữu tỉ $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ được xác định như sau:
$x.y=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$ với $b,d\neq0$
Chú ý:
+ Thu gọn kết quả trong quá trình tính nhân.
+ Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:mang dấu "+" nếu thừa số âm chẵn, mang dấu "-" nếu thừa số âm lẻ.
Với hai số $x=\frac{a}{b};y=\frac{c}{d}$ ( $y\neq0$ )
ta có: $x:y=\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$
Chú ý:
+ Mỗi số hữu tỷ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là $\frac{1}{y}$ . Số nghịch đảo của $\frac{a}{b}$ là $\frac{b}{a}$ (với a,b ≠ 0)
+ Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là $\frac{x}{y}$ hoặc x:y.
Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x được kí hiệu là |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm O trên trục số.
+ Nếu x > 0 thì |x| = x.
+ Nếu x = 0 thì |x| = 0.
+ Nếu x < 0 thì |x| = -x.
Từ định nghĩa trên ta có thể viết như sau:$\mid x\mid=\begin{cases}x & nếu & x \geq 0\\-x & nếu &x < 0\end{cases}$
Chú ý: Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0, |x| = |-x|, |x| > x.
+ Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số.
+ Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y ≠ 0), ta áp dụng quy tắc: Thương của hai số thập phân x và y là thương của |x| và |y| với dấu "+" đằng trước nếu x,y cùng dấu, với dấu "-" nếu x,y trái dấu.
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỷ x, kí hiệu là xn, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).
Với x ∈ Q, n ∈ N, n > 1 ta có: $x^{n}=\underbrace{x.x...x}$ ( n thừa số $x$ )
Quy ước: $x^{1}=x $ với $x\in Q; x^{0}=1$ với $x\neq 0$
- Tích hai lũy thừa cùng cơ số: $x^{m}.x^{n}=x^{m+n} (x\in Q;m,n\in N)$
- Thương hai lũy thừa cùng cơ số: $x^{m}.x^{n}=x^{m+n} (x\in Q;m,n\in N; m\geq n)$
- Lũy thừa của lũy thừa: $(x^{m})^{n}=x^{m.n}(x\in Q; m,n\in N )$
- Lũy thừa của một tích:$(x.y)^{n}=x^n.y^n (x,y\in Q; n\in N )$
- Lũy thừa của một thương: $(\frac{x}{y})^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}$$(x,y\in Q; n\in N )$
- Lũy thừa số mũ nguyên âm: $x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}$ với $(x\in Q, x\neq 0; n\in N^{*})$
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a,b,c,d\in Q; b\neq0, d\neq0 )$
Ta viết $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ hoặc a:b = c:d
Ví dụ: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ hoặc 2:3 = 4:6
Tính chất 1 : (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)
Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì ad = bc
Tính chất 2:
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$; $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}(b\neq d; b\neq -d )$
Mở rộng:
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{na+mc+pe}{nb+md+pf}$
( Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Chú ý:
Khi nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là:
$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{d}$ hoặc x: y: z = a: b: c
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.
+ Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bỏ đi bằng chữ số 0.
+ Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bỏ đi bằng chữ số 0.
+ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
+ Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.
Ví dụ:
+ π = 3,141592653 là số vô tỉ
+ 2,1683986 là số vô tỉ.
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a
Chú ý:
• Nếu a > 0 thì a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ , số âm kí hiệu là $-\sqrt{a}$.
• Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
• Số âm không có căn bậc hai.
+ Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
+ Tập hợp các số thực được kí hiệu là R.
+ x ∈ R: x là một số thực
+ Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.
+ Ngược lại, một điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực. Vì thế, trục số còn gọi là trục số thực
Chú ý: Các phéo toán trong tập hợp số thực cũng có tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, phối hợp)