Hình hộp chữ nhật . Thể tích của hình hộp chữ nhật - Toán lớp 8

I. Hình hộp chữ nhật

1. Hình hộp chữ nhật

Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.

+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

+ Hai mặt đối diện nhau được xem là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

2. Mặt phẳng và đường thẳng

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Các cạnh: AD, DD',BC, ... như là các đoạn thẳng

Mỗi mặt, chẳng hạn như mặt ABCD,BCC'B', ... là một phần của mặt phẳng

Đường thẳng qua hai điểm A, B của mặt phẳng ( ABCD ) thì nằm trọn trong mặt phẳng đó.

3. Hai đường thẳng song song trong không gian

+ Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.

+ Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:

– Cắt nhau – Song song – Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

Ví dụ:

Cắt nhau: Chẳng hạn như AB và AD cắt nhau tại A, chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( ABCD ),….

Song song: Chẳng hạn như AB và CD song song với nhau, chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( ABCD ),….

Chéo nhau: Chẳng hạn như AD và A'B', chúng nằm ở hai mặt phẳng khác nhau

4. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai mặt phẳng song song

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng ( P ) và song song với một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng.

Kí hiệu a // ( P ).

– Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

 Ví dụ: A'B'  không thuộc mặt phẳng (ABCD), A'B'//AB nên A'B'//(ABCD)     

b) Hai mặt phẳng song song

– Nếu mặt phẳng ( Q ) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng ( P ) thì mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( P ). Kí hiệu ( Q )//( P ).

– Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.

Ví dụ: A'B' cắt A'D' cùng thuộc mặt phẳng (A'B'C'D') mà A'B'//(ABCD) và A'D'//(ABCD). Suy ra (A'B'C'D')//(ABCD)
 
– Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung đó (đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng).

II. Thể tích hình hộp chữ nhật

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

– Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng ( P ) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( P ). Kí hiệu d ⊥ ( P ).

– Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P ) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong ( P ) và đi qua điểm A.

 

Ví dụ: A'A⊥(ABCD)

b) Hai mặt phẳng vuông góc

– Mặt phẳng ( P ) gọi là vuông góc với mặt phẳng ( Q ) nếu mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ). Kí hiệu ( Q ) ⊥ ( P ).

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng ( ADD'A') ⊥ ( ABCD)

         

Giải:

Ta có: $\begin{cases}DD’\bot AD\\DD’\bot DC\end{cases}\Rightarrow DC\bot(ABCD)$

Mà $DD’ ∈ ( ADD’A’ ) ⇒ ( ADD’A’ ) ⊥ ( ABCD )$

2. Thể tích hình hộp chữ nhật

a) Thể tích hình hộp chữ nhật

               

Ta có $V = a.b.h$

b) Thể thích hình lập phương

           

Ta có:$ V = a^3.$

c) Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 12cm, AD = 16cm, AA' = 25cm. Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

Giải:

         

Ta có $V_{ABCD.A’B’C’D’} = AB.AD.AA’ = 12.16.25 = 4800( cm^3 ).$