Kiểm tra học kì II - Lớp 8 - Toán lớp 8

Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1: Cho hai phương trình : $x(x - 1)$ (I) và $3x - 3 = 0$(II)

A/ (I)tương đương (II)

B/ (I) là hệ quả của phương trình (II)

C/ (II) là hệ quả của phương trình (I)

D/ Cả ba đều sai

Câu 2: Cho biết $2x - 4 = 0.$Tính $3x - 4 $ bằng:

A/ 0                 B/ 2                 C/ 17                    D/ 11
Câu 3: Để biểu thức $(3x + 4) - x$ không âm giá trị của $x$ phải là :

A/ $x ≥ -2   $          B/ $-x ≥ 2  $               C/ $x ≥ 4 $                D/ $x ≤ -4$
Câu 4: ΔABC đồng dạng với Δ DEF theo tỉ số đồng dạng k1 ;ΔDEF đồng dạng với ΔGHK theo tỉ số đồng dạng k2 . ΔABC đồng dạng với Δ GHK theo tỉ số :

A/  $ \frac{k1}{k2}$             B/ k1 + k2          C/ k1 - k2             D/ k1 .k2

Câu 5: Trong các phương trình sau; phương trình nào là bậc nhất một ẩn?

A/ $x – 5 = x + 3  $                 B/ $ax + b = 0$

C/ $(x - 2)( x + 4) = 0  $        D/ $2x + 1 = 4x + 3$

Câu 6: Phương trình :$ x^2 =-9$ có nghiệm là :

A/ Một nghiệm $x = 3 $                            B/ Một nghiệm $x = -3$

C/ Có hai nghiệm : $x = -3; x = 3 $      D/ Vô nghiệm
Câu 7: Bất phương trình $\frac{15x-2}{4}>1+3x$ có nghiệm là :

A/ $x < 1 $             B/ $x < 2 $              C/ $x > 2$              D/ KQ khác

Câu 8: Cho các đoạn thẳng AB=8cm ;CD = 6cm ; MN = 12mm. PQ = x. Tìm x để AB và CD tỉ lệ với MN;PQ

A/ x = 9 cm       B/ x = 0,9cm       C/ x = 18 cm       D/ Cả ba đều sai

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) $|3x| = x + 6$

b) $\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x(x-2)}$

c) $(x + 1)(2x – 2) – 3 > –5x – (2x + 1)(3 – x)$

Bài 2: (2 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc hết 12 ngày. Năng suất trong một ngày của người thứ hai bằng 2/3 năng suất người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc ?

Bài 3: ( 3,5đ ) :Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Vẽ HD ⊥ AB ( D ∈ AB ). HE ⊥ AC ( E ∈ AC ). AB = 12cm, AC = 16 cm

a) Chứng minh : $ΔHAC ∼ ΔABC$

b) Chứng minh : $AH^2 = AD.AB$

c) Chứng minh : $AD.AB = AE.AC.$

d) Tính $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}$

Bài 4: (0,5 điểm) Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng:

                     $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq4$

                       Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm) 

1. C                   2. B                  3.A               4.D
5.D                    6.D                   7.C              8.B

Phần tự luận (8 điểm)

Bài 1

a) $|3x| = x + 6$ (1)

Ta có $|3x| = 3x$ khi $x ≥ 0 $ và $|3x| = -3x$ khi $x < 0$

Vậy để giải phương trình (1) ta quy về giải hai phương trình sau:

+ ) Phương trình $3x = x + 6$ với điều kiện $x ≥ 0$

Ta có: $3x = x + 6 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3$ (TMĐK)

Do đó $x = 3$ là nghiệm của phương trình (1).

+ ) Phương trình $-3x = x + 6$ với điều kiện $x < 0$

Ta có $-3x = x + 6 ⇔ -4x + 6 ⇔ x = -\frac{3}{2}$ (TMĐK)

Do đó $x = -\frac{3}{2}$ là nghiệm của phương trình (1).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S = {$3; -\frac{3}{2}$}.

b) $\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x(x-2)}$
ĐKXĐ: $x ≠ 0, x ≠ 2$

Quy đồng mẫu hai vễ của phương trình, ta được:

$\frac{(x+2)x}{(x-2)x}-\frac{1(x-2)}{x(x-2)}=\frac{2}{x(x-2)}$

⇒$(x+2)x-(x-2)=2$

⇔$x^2+2x-x+2=2$⇔$x^2+x=0$

⇔$x(x+1)=0$

⇔$x=0$ hoặc $x +1=0$

⇔$x = 0$ (loại) hoặc $x =-1$(TMĐK)

    Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1}

c) $(x + 1)(2x – 2) – 3 > –5x – (2x + 1)(3 – x)$

$⇔ 2x^2 – 2x + 2x – 2 – 3 > –5x – (6x – 2x^2 + 3 – x)$

$⇔ 2x^2 – 5 ≥ –5x – 6x + 2x^2 – 3 + x$

$⇔ 10x ≥ 2 ⇔ x ≥ \frac{1}{5}$

Tập nghiệm: S = {$x | x ≥ \frac{1}{5}$}.

Bài 2

Gọi $x$ là số ngày để người thứ nhất làm một mình xong công việc ($x ∈ N^*$)

Một ngày người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc

Một ngày người thứ hai làm được $\frac{2}{3}.\frac{1}{x}=\frac{2}{3x}$ công việc

Một ngày cả hai người làm được $\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}$

Hai người làm chung thì xong công việc trong 12 ngày nên một ngày cả 2 người làm được $\frac{1}{2}$ công việc

Do đó, ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{2}{3x}=\frac{1}{12}$

                     $⇔\frac{12}{12x}+\frac{8}{12x}=\frac{x}{12x}$  
                      $⇔ 12 + 8 = x ⇔ x = 20$ (nhận)

Trả lời: Người thứ nhất làm trong 20 ngày; người thứ hai làm trong 30 ngày.

Bài 3

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:              

       $\widehat{ACH}$ là góc chung

 $\widehat{BAC}= \widehat{AHC} = 90^o$

 $⇒ ΔHAC ∼ ΔABC$ (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

        $\widehat{DAH}$ là góc chung

       $\widehat{ADH}= \widehat{AHB} = 90^o$

       $⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH$ (g.g)

$⇒\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}⇒AH^2=AB.AD$

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

$⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ \widehat{DHA}= \widehat{DEA}$

Mặt khác: $ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ \widehat{DHA}= \widehat{BAH}$

$\widehat{DEA}= \widehat{BAH}$

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

$\widehat{DEA}= \widehat{BAH}$

  $\widehat{DAE }$ là góc chung

  $ΔEAD ∼ ΔBAC$ (g.g)

$⇒\frac{EA}{BA}=\frac{AD}{AC}⇒AD.AB=AE.AC$

d) Ta có: $ΔEAD ∼ ΔBAC$

  $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2$

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago: $BC= \sqrt{AB^2+AC^2} = \sqrt{12^2+16^2} =20$

Mặt khác ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

                          $\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=\frac{48}{5}$
Theo b, ta có: $AH^2=AB.AD\Rightarrow AD=\frac{AH^2}{AB}=\frac{(\frac{48}{5})^2}{12}=\frac{192}{25}$

     $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{\frac{192}{25}}{16})^2$

Bài 4 

      $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq4$

    $\Leftrightarrow 1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\geq4$

     $\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\geq2$

Vì $a>0$ và $b>0$ $\Rightarrow ab>0$

Vậy $\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\geq2\Leftrightarrow b^2+a^2\geq2ab$

     $\Leftrightarrow(a-b)^2\geq0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.