Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, thứ tự và phép nhân - Toán lớp 8

I. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

1. Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số

Trên tập hợp số thực, khi so sánh hai số a và b, xảy ra một trong ba trường hợp sau:

+ Số a bằng số b, kí hiệu là a = b.

+ Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu là a < b.

+ Số a lớn hơn số b, kí hiệu là a > b.

+ Số a không nhỏ hơn số b, kí hiệu a ≥ b.

+ Số a không lớn hơn số b, kí hiệu a ≤ b.

2. Bất đẳng thức

Hệ thức dạng a < b (hay dạng a > b; a ≥ b; a ≤ b ) được gọi là bất đẳng thức a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Ví dụ:

Bất đẳng thức 7 + ( - 3 ) > 3 có vế trái là 7 + ( - 3 ), vế phải là 3.

Bất đẳng thức $x^2 + 1 ≥ 1$ có vế trái là $x^2 + 1$, vế phải là 1.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Tính chất: Cho ba số a,b và c, ta có

           Nếu a < b thì a + c < b + c.

           Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c.

           Nếu a > b thì a + c > b + c.

           Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

Chú ý: Tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ:

Ta có $\sqrt{2} < 3 ⇒ \sqrt{2} + 2 < 3 + 2$

Ta có - 2000 > - 2001 ⇒ - 2000 + ( - 111 ) > - 2001 + ( - 111 ).

II. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

1. Liện hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:

            Nếu a < b thì ac < bc

           Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc

           Nếu a > b thì ac > bc

           Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.

Ví dụ:

+ Ta có 3 < 5 ⇒ 3.3 < 5.3 (đúng) vì VT = 3.3 = 9 < VP = 5.3 = 15.

+ Ta có - 2 > - 3 ⇒ ( - 2 ).2 > ( - 3 ).2 (đúng) vì VT = ( - 2 ).2 = - 4 > VP = ( - 3 ).2 = - 6.

2. Liên hệ giữa thứ tự với phép nhân với số âm

a) Tính chất

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

b) Tổng quát

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

           Nếu a < b thì ac > bc

          Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc

          Nếu a > b thì ac < bc

           Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.

Ví dụ:

+ Ta có - 6 < 2 ⇔ ( - 6).( - 2 ) > 2.( - 2 ) (đúng) vì VT = ( - 6 ).( - 2 ) = 12> VP = 2.( - 2 ) = - 4.

+ Ta có 5 > 2 ⇒ 5.( - 1 ) < 2.( - 1 ) (đúng) vì VT = 5.( - 1 ) = - 5 < VP = 2.( - 1 ) = - 2.

3. Tính chất bắc cầu theo thứ tự

Với ba số a,b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c. Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu.

Ví dụ: Cho a > b. Chứng minh a + 2 > b - 1.

Giải:

Cộng 2 vào hai vế của bất đẳng thức a > b, ta được:

                            a + 2 > b + 2       ( 1 )

Cộng b vào hai vế của bất đẳng thức 2 > - 1, ta được:

                            b + 2 > b - 1       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), áp dụng tính chất bắc cầu trên ta có: a + 2 > b - 1.