Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Toán lớp 9

Nhận biết các cặp tam giác vuông đồng dạng, biết thiết lập các hệ thức lượng và vận dụng các hệ thức đó để giải bài tập.

video bài giảng Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Xem video bài giảng này ở đây!

Bài tập ôn tập lý thuyết

Bài tập luyện tập giúp bạn nắm bắt các kiến thức cơ bản của bài học
0

Điểm xếp hạng (Hệ số x 1)


Thưởng tối đa : 3 hạt dẻ

Bạn phải là thành viên VIP mới được làm bài này! Đăng ký mua thẻ VIP tại đây

Lý thuyết - Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

\n<title></title> \n<title></title>

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

Cụ thế:  Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó: 

$AB^2=BH.BC\\\nAC^2=HC.BC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính HC

\n<title></title> \n<title></title>

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AC^2=HC.BC$              (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay AC = 14; BC = 16, ta được $14^2=HC.16\Rightarrow HC=12,25$

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao

a. Định lý 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Cụ thể: Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:   $AH^2=BH.HC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

\n<title></title> \n<title></title>

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AH^2=BH.HC$      (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay BH = 2; HC = 8, ta được $AH^2=2.8=16\Rightarrow AH=4$

b. Định lý 3

Trong tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng

Cụ thể:Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:   $AB.AC=AH.BC$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

\n<title></title> \n<title></title>

Tam giác ABC vuông tại A, nên $AB^2+AC^2=BC^2$               (Định lý Pitago)

Thay AB = 5; AC = 7 ta được: $BC^2=5^2+7^2=74\Rightarrow BC=\sqrt{74}$

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$AH.BC=AB.AC$                  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay $BC=\sqrt{74};AB=5;AC=7$                   ta được:

 $AH.\sqrt{74}=5.7\Rightarrow AH=\frac{35}{\sqrt{74}}$

c. Định lý 4

Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

Cụ thể: Tam giác ABC vuông tại A; $AH\perp BC$     $(H\in BC)$     .Khi đó:  $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính AH

\n<title></title> \n<title></title>

Tam giác ABC vuông tại A; AH vuông góc với BC, ta có:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$                  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Thay AB = 6; AC = 8 ta được:

 $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}\Rightarrow AH^2=\frac{576}{25}\Rightarrow AH=\frac{24}{5}$