Hệ thức Vi-et - Toán lớp 9

1. Định lý vi et

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,(a\neq0)$                   (1)

Nếu $x_1;x_2$          là nghiệm của PT (1) thì $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a}\end{cases}$

Ví dụ: Không giải phương trình. Gọi  ​$x_1;x_2$        là hai nghiệm của phương trình (nếu có). Hãy tính $x_1+x_2;x_1.x_2$              trong các trường hợp sau:

a) $5x^2+10x-17=0$                    (1)

Ta có $\triangle’=(-5)^2-5.(-17)=110>0$

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình (1) ta được: $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2\\x_1,x_2=\frac{c}{a}=\frac{-17}{5}\end{cases}$

b) $4x^2+3x+1=0$                              (2)

Ta có $\triangle=3^2-4.4.1=-7<0$

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm. Vậy không tính được ​$x_1+x_2;x_1.x_2$

c) $x^2-2x+1=0$                         (3)

Ta có $\triangle’=(-1)^2-1.1=0$

Suy ra phương trình (3) có nghiệm kép. Áp dụng hệ thức Vi et cho phương trình (1) ta được: $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\x_1,x_2=\frac{c}{a}=1\end{cases}$

2. Hệ quả

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\,\,\,(a\neq0)$   

- Nếu $a+b+c=0$              thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}$

- Nếu $a-b+c=0$              thì phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}$

- Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi $a.c<0$

Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của phương trình

a) $2x^2+5x-7=0$                      (1)

$(a=2;b=5;c=-7)$

Ta có: $a+b+c=2+5+(-7)=0$

Nên phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{-7}{2}$

b) $5x^2-6x-11=0$                          (2)

Ta có: $a-b+c=5-(-6)+(-11)=0$

Nên phương trình (1) có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=\frac{11}{5}$

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số u và v thỏa mãn u + v = S; u.v = P $(S^2\geq4P)$                  thì hai số đó là nghiệm của phương trình $x^2-S.x+P=0$

Ví dụ: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1; tích của chúng bằng -6

Giải:

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2-x-6=0$

Ta có $\triangle=(-1)^2-4.1.(-6)=25>0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1-5}{2}=-2;\,\,\,x_2=1-(-2)=3$

Vậy hai số cần tìm là $x_1=-2;x_2=3$