Kiểm tra học kỳ I - Lớp 8 - Toán lớp 8

                       Kiểm tra học kỳ 1 - Toán 8 

Phần trắc nghiệm (2 điểm)
Câu 1: Kết quả của phép tính: $(2x^2 – 32) : (x – 4 )$ là:

A. 2(x – 4)       B. 2(x + 4)       C. x + 4            D. x – 4

Câu 2: Mẫu thức chung của 2 phân thức $\frac{3}{x^2+4x+4}$  và $\frac{x+4}{2x^2+4x}$ là:

A. $x(x + 2)^2 $      B. $2(x + 2)^2 $      C. $2x(x + 2)^2  $     D. $2x(x + 2)$

Câu 3: Kết quả của phép tính $\frac{5x+2}{3xy^2}:\frac{10x+4}{x^2y}$ là:

A. $\frac{6y}{x^2}$                B. $\frac{6y}{x}$            C. $\frac{x}{6y}$                        D. $\frac{x}{6y^2}$

Câu 4: Tập hợp các giá trị của x để $3x^2=2x$ là :

A. $\left\{0\right\}$             B. $\left\{0;\frac{2}{3}\right\}$               C. $\left\{\frac{2}{3}\right\}$                D. $\left\{\frac{3}{2}\right\}$
Câu 5: Với $x = 105$ thì giá trị của biểu thức $x^2-10x + 25$ là:

A. 1000      B. 1025       C. 10000       D. 10025

Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân

B. Tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang

C. Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật

D. Hình chứ nhật có 2 đường ch éo vuông góc là hình vuông.

Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, BC = 8cm. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật. Tổng diện tích các tam giác có trong hình là:

   

A. $4 cm^2  $              B. $6 cm^2  $              C. $12 cm^2 $             D. $24 cm^2$

Câu 8: Trong hình dưới, biết ABCD là hình thang vuông, tam giác BMC đều. Số đo của góc ABC là:

     

A.$ 60^o  $            B. $130^o  $         C.$ 150^o  $          D. $ 120^o$

Phần tự luận (8 điểm)
Bài 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử

a) $x^6 – x^4 + 2x^3 + 2x^2$

b) $4x^4 + y^4$

Bài 2: (2 điểm) Cho biểu thức : 

$A=(\frac{x^2-2x}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}).(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}),(x\neq0;x\neq2)$

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức A với $x = \frac{1}{2}$

Bài 3: (1 điểm)

Chứng tỏ rằng đa thức : $P = x^2 - 2x + 2 $ luôn luôn lớn hơn 0 với mọi x.

Bài 4: (3 điểm) Cho ΔABC cân tại A có AB = 5cm; BC = 6cm. Kẻ phân giác trong AM (M $\in$BC) . Gọi O là trung điểm của AC và K là điểm đối xứng của M qua O.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tứ giác ABMO là hình gì? Vì sao?

c) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì?

                               Đáp án và Hướng dẫn giải

Phần trắc nghiệm (2 điểm)
             1.B    3.C    5.C    7.D
             2.C    4.B    6.A    8.D
Phần tự luận (8 điểm)
Bài 1

a) $x^6 – x^4 + 2x^3 + 2x^2$

$= x^2(x^4 – x^2 + 2x + 2)$

$= x^2[x^2(x^2 – 1) + 2(x + 1)]$

$= x^2. [x^2.(x -1).(x + 1) + 2(x+ 1)]$

$= x^2 (x+ 1).[x^2(x- 1)+ 2]$

$= x^2(x + 1)(x^3 – x^2 + 2)$

$= x^2(x + 1)[(x^3 + 1) – (x^2 – 1)]$

$= x^2(x + 1).[(x + 1).(x^2 – x + 1) - (x - 1).(x + 1)]$

$= x^2(x + 1)(x + 1)( x^2 – x + 1 – x + 1)$

$= x^2(x + 1)^2(x^2 – 2x + 2).$

b) $4x^4 + y^4 = 4x^4 + 4x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2$

$= (2x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$

$= (2x^2 + y^2 + 2xy)(2x^2 + y^2 - 2xy)$.

Bài 2

a) Ta có: $2x^2 + 8 = 2(x^2 + 4).$

$8 – 4x + 2x^2 – x^3$$= (8 – x^3) - ( 4x - 2x^2)$

                        $= (2 – x).(4 + 2x + x^2) - 2x.(2 - x)$

                        $= (2 – x).(4 + 2x + x^2 – 2x)$$= (2 - x). (4 + x^2 )$

* Do đó:

$A=(\frac{x^2-2x}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}).(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}),(x\neq0;x\neq2)$

$A=(\frac{x^2-2x}{2(x^2+4)}-\frac{2x^2}{(2-x)(4+x^2)}).(\frac{x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2})$

$A=(\frac{(x^2-2x)(2-x)}{2(x^2+4)(2-x)}-\frac{2.2x^2}{2(2-x)(4+x^2)}).(\frac{x^2-x-2}{x^2})$

$A=\frac{2x^2-x^3-4x+2x^2-4x^2}{2(2-x)(4+x^2)}.\frac{x^2+x-2x-2}{x^2}$

$A=\frac{-x(x^2+4)}{2(2-x)(4+x^2)}.\frac{x(x+1)-2(x+1)}{x^2}$

$A=\frac{-x(x^2+4)}{2(2-x)(4+x^2)}.\frac{(x+1)(x-2)}{x^2}$

$A=\frac{-x(x^2+4)}{2(2-x)(4+x^2)}.\frac{-(x+1)(2-x)}{x^2}$

$A=\frac{x+1}{2x}$

b) Tại $x =\frac{1}{2}$ biểu thức A xác định nên thay $x =\frac{1}{2}$ vào biêu thức rút gọn của A ta được:

$A=\frac{\frac{1}{2}+1}{2.\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$

Bài 3

$P = x^2 - 2x + 2 = (x – 1)^2 + 1$

Do $(x – 1)^2 ≥ 0; ∀x $ nên $(x – 1)^2 + 1 ≥ 1; ∀x$

Vậy P luôn lớn hơn 0 với mọi $x $.

Bài 4

                                                      

a) Vì M là trung điểm của BC nên:

BM = BC/2 = 6/2 = 3(cm)

Tam giác ABC cân tại A, lại có AM là đường phân giác nên AM cũng là đường cao. Do đó tam giác AMB vuông tại M.

Suy ra: $AM^2 = AB^2 - BM^2$ (Định lí Pytago)

                     $= 5^2 - 3^2 = 16(cm)$

Suy ra AM = 4cm

                  $S_{\triangle ABC}=\frac{AM.BC}{2}=\frac{4.6}{2}=12(cm^2)$

b) ΔAMC vuông tại M có MO là đường trung tuyến nên OM = OA.

Suy ra ∠OAM = ∠OMA ( ΔAMO cân tại O)

Lại có ∠OAM = ∠MAB (AM là tia phân giác góc BAC)

Suy ra ∠OMA = ∠MAB

Mà đây là 2 góc ở vị trí so le trong

Suy ra OM // AB

Vậy tứ giác ABMO là hình thang.

c) Tứ giác AMCK có OA = OC; OM = OK nên tứ giác AMCK là hình bình hành . Lại có ∠AMC $= 90^o $ (chứng minh trên) nên tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật AMCK là hình vuông

⇔ AM = MC = BM

⇔ AM = BC/2

⇔ ΔABC vuông cân tại A.