Phương trình quy về phương trình bậc hai - Toán lớp 9

1. Phương trình trùng phương

a. Định nghĩa

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng $ax^4+bx^2+c=0\,\,\,(a\neq0)$

Ví dụ: $4x^4+3x^2-1=0$  là một phương trình trùng phương

b. Cách giải

Đặt $x^2=t\,\,\,(t\geq0)$. Khi đó ta được phương trình bậc hai ẩn t có dạng: $at^2+bt+c=0$

c. Ví dụ: Giải phương trình $3x^4-2x^2-1=0$           (1)

Giải: 

Đặt $x^2=t\,\,\,(t\geq0)$. Ta được một phương trình bậc hai ẩn t có dạng: $3t^2-2t-1=0$     (2)

(a = 3; b = - 2; c = - 1)

Nhận thấy a + b + c =3 + (- 2) + (- 1) = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm $t_1=1\,\,(TM);t_2=-\frac{1}{3}\,\,(L)$

Với t = 1, ta có $x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1$

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1=1;x_2=-1$

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

a. Cách giải

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ, các trị trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho

b. Ví dụ

Giải phương trình $\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$   (1)

ĐKXĐ: $x\neq\pm3$

$\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}\\ \Leftrightarrow\frac{x^2-3x+6}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}\\ \Rightarrow x^2-3x+6=x+3\\ \Leftrightarrow x^2-4x+3=0\,\,\,(2)$

Nhận thấy 1 + (-4) + 3 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm $x_1=1(TM);x_2=3(L)$

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

3. Phương trình tích

a. Cách giải

$A(x).B(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}A(x)=0\\B(x)=0\end{array}\right.$

b. Ví dụ

Giải phương trình $x^3+3x^2+2x=0$

Giải: 

$x^3+3x^2+2x=0\\ \Leftrightarrow x(x^2+3x+2)=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}x=0\,\,\,(1)\\x^2+3x+2=0\,\,\,(2)\end{array}\right.$

Giải phương trình (2)

Nhận thấy 1 - 3 + 2 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm $x_1=-1;x_2=-2$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $x_1=-1;x_2=-2;x_3=0$