Tóm tắt bài học
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α
1. Trên đường tròn lượng giác, cho cung \(\widehat{AM}\) có sđ \(\widehat{AM}\) = α (còn viết \(\widehat{AM}\) = α). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox, Oy thỏa mãn M(x;y)⇒x = \(\overline{OH}\); y=\(\overline{OK}\) .
Định nghĩa
Tung độ y của M là sin của góc α: sinα ⇒ sinα = y = \(\overline{OK}\)
Hoành độ x của M là cosin của góc α: cosα⇒cosα=x= \(\overline{OH}\)
Với cosα ≠ 0, tỉ số\(\frac{ sinα}{cosα}\) gọi là tang của góc α: tanα ⇒ tanα = \(\frac{sinα}{cosα}\)
Với sinα ≠ 0, tỉ số \(\frac{cosα}{sinα}\) gọi là cotang của góc α: cotα ⇒ cotα = \(\frac{cosα}{sinα}\)
- sinα,cosα,tanα,cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
- Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
2. Hệ quả
a. sinα, cosα xác định với ∀α ∈ R, ta có:
sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z
cos(α + k2π)=cosα, ∀k ∈ Z
b. Vì -1 ≤ \(\overline{OK}\) ≤ 1 ;-1 ≤ \(\overline{OH}\) ≤ 1 nên ta có:
-1 ≤ sinα ≤1
-1 ≤ cosα ≤1
c. Với ∀m ∈ R mà -1 ≤ m ≤1 đều tồn tại α và β sao cho
sinα =m và cosβ = m
d. tanα xác định với ∀α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ (k ∈ Z)
cotα xác định với ∀α ≠ kπ (k ∈ Z)
e. Dấu của giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cùng \(\widehat{AM}\) = α trên đường tròn lượng giác
II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA tan và cotan
1. Ý nghĩa hình học của tang
Kẻ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác tại A.
Gọi T=OM ∩ t'At. Khi đó tanα =\(\overline{AT}\).
Trục t'At gọi là trục tang.
2. Ý nghĩa hình học của cotang
Kẻ tiếp tuyến s'Bs của đường tròn lượng giác tại B.
Gọi S=OM ∩ s'Bs. Khi đó cotα= \(\overline{BS}\).
Chú ý : tan(α+kπ)=tanα (k ∈ Z)
cot(α + kπ) = cotα (k ∈ Z)
III. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
1. tanα = \(\frac{sinα}{cosα}\) (α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ, k ∈ Z)
2. cotα = \(\frac{cosα}{sinα}\) (α ≠ kπ,k ∈ Z)
3. \(sin^2\)α + \(cos^2\)α = 1
4. 1 + \(tan^2\)α = \(\frac{1}{cos^2α}\) (α ≠ \(\frac{π}{2}\) + kπ,k ∈ Z)
5. 1 + \(cot^2\)α = \(\frac{1}{sin^2α} \) (α ≠ kπ,k ∈ Z)
6. tanα.cotα = 1 (α ≠ \(k\frac{π}{2}\))
7. cotα = \(\frac{1}{tanα}\) (α≠ \(k\frac{π}{2}\))
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau (α và -α)
sin(-α)=-sinα tan(-α)=-tanα
cos(-α)=cosα cot(-α)=-cotα
b. Cung bù nhau (α và π- α)
sin(π - a)=sinα tan(π-α)=-tanα
cos(π - α)=-cosα cot(π-α)=-cotα
c. Cung hơn kém π (α và π + α)
sin(π + α)=-sinα tan(π+π)=tanα
cos(π + α)=-cosα cot(π+α)=cotα
d. Cung phụ nhau (α và \(\frac{π}{2}\)- α)
sin(\(\frac{π}{2}\) - α)=cosα tan(\(\frac{π}{2}\) - α) = cotα
cos(\(\frac{π}{2}\) - α)=sinα cot(\(\frac{π}{2}\)- α) = tanα