(Toán lớp 11) Bài 16: Giới hạn của dãy số
Các nội dung chính trong bài học này (Bấm để nhảy đến nội dung cần xem)
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
Một số định lý về giới hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài tập vận dụng
Tóm tắt bài học
Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn
* \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = 0\) khi và chỉ khi với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \(n_0\) sao cho \(|u_n|<ε\), \(∀n>n_0\).
* \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = a\) khi và chỉ khi với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \(n_0\) sao cho \(|u_n-a|<ε\), \(∀n>n_0\).
* Viết \(\lim u_n=a\) thay cho cách viết \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = a\).
2. Giới hạn vô cực
* \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = +\infty\) khi và chỉ khi với mọi M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \(n_0\) sao cho |\(u_n\) |>M, \(∀n>n_0\).
* \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = -\infty\) ⇔ \(\lim\limits_{n \to +\infty}(-u_n) = +\infty\)
* Viết \(\lim u_n = +\infty\) thay cho cách viết \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = +\infty\).
Một số giới hạn đặc biệt :
* \(\lim c=0\), \(c\) là hằng số.
* \(\lim\frac{1}{n^k} = 0\), \(k∈N^*\)
\( \lim n^k\), \(k∈N^*\)
* \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = -\infty\) ⇔ \(\lim\limits_{n \to +\infty}(-u_n) = +\infty\)
* Viết \(\lim u_n = +\infty\) thay cho cách viết \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n = +\infty\).
Một số giới hạn đặc biệt :
* \(\lim c=0\), \(c\) là hằng số.
* \(\lim\frac{1}{n^k} = 0\), \(k∈N^*\)
\( \lim n^k\), \(k∈N^*\)
* \(\lim|q|^n=0\) nếu \(|q|<1\).
\(\lim |q|^n=+∞\) nếu \(|q|>1\).
\(\lim |q|^n=+∞\) nếu \(|q|>1\).
3. Một số định lý về giới hạn
Định lý 1: Nếu \(|u_n| < v_n\), \(∀n>n_o\) và \(\lim v_n=0\) thì \(\lim u_n=0\).
Định lý 2: Cho \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n=b\).
* \(\lim(u_n + v_n)=a+b\) \( \lim(u_n-v_n )=a-b\)
* \(\lim(u_n.v_n)=a.b\) \(\lim \frac{u_n}{v_n} =\frac{a}{b}\) ( \(b≠0\))
* Nếu \(u_n≥0\), \(∀n\) và \(\lim u_n=a\) thì \(a≥0\) và \(\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}\)
Định lý 3:
* \(\lim u_n=a\), \(\lim v_n=+∞\) ⇒ \(\lim \frac{u_n}{v_n} = 0\)
* \(\lim u_n=a>0\), \(\lim v_n=0\); \(v_n>0\) \(∀n\) ⇒\(\lim \frac{u_n}{v_n} =+∞\)
* \(\lim u_n = +∞\), \(\lim v_n=a > 0\) ⇒ \(\lim(u_n.v_n)=+∞\)
Định lý 1: Nếu \(|u_n| < v_n\), \(∀n>n_o\) và \(\lim v_n=0\) thì \(\lim u_n=0\).
Định lý 2: Cho \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n=b\).
* \(\lim(u_n + v_n)=a+b\) \( \lim(u_n-v_n )=a-b\)
* \(\lim(u_n.v_n)=a.b\) \(\lim \frac{u_n}{v_n} =\frac{a}{b}\) ( \(b≠0\))
* Nếu \(u_n≥0\), \(∀n\) và \(\lim u_n=a\) thì \(a≥0\) và \(\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}\)
Định lý 3:
* \(\lim u_n=a\), \(\lim v_n=+∞\) ⇒ \(\lim \frac{u_n}{v_n} = 0\)
* \(\lim u_n=a>0\), \(\lim v_n=0\); \(v_n>0\) \(∀n\) ⇒\(\lim \frac{u_n}{v_n} =+∞\)
* \(\lim u_n = +∞\), \(\lim v_n=a > 0\) ⇒ \(\lim(u_n.v_n)=+∞\)
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
* CSN lùi vô hạn là CSN có công bội q với |q|<1.
* \(S=u_1+u_2+...+u_n+\)⋯ = \(\lim S_n\)=\(\lim \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}\)=\(\frac{u_1}{1-q}\)
* CSN lùi vô hạn là CSN có công bội q với |q|<1.
* \(S=u_1+u_2+...+u_n+\)⋯ = \(\lim S_n\)=\(\lim \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}\)=\(\frac{u_1}{1-q}\)
Bài luyện tập chuyên sâu (Luyện tập với các cấp độ từ dễ đến khó của dạng bài này)
