(Toán lớp 11) Bài 17: Giới hạn của hàm số
Các nội dung chính trong bài học này (Bấm để nhảy đến nội dung cần xem)
Giới hạn của hàm số
Bài tập vận dụng
Tóm tắt bài học
1. Giới hạn của hàm số
* Giới hạn hữu hạn:
\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
* Giới hạn một bên:
+ \( \lim\limits_{x \to x_0^+ } f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) và \(x > x_0\).
+ \(\lim\limits_{x \to x_0^- } f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) và \(x < x_0\).
Chú ý: \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=L\) ⇔ \( \lim\limits_{x \to x_0^+ } f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^- } f(x)=L\)
* Giới hạn vô cực:
+ \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=+∞\) nếu \(f(x)\) dần tới \(+∞\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
+\(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=-∞\) nếu \(f(x)\) dần tới \(-∞\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
* Giới hạn hữu hạn:
\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
* Giới hạn một bên:
+ \( \lim\limits_{x \to x_0^+ } f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) và \(x > x_0\).
+ \(\lim\limits_{x \to x_0^- } f(x)=L\) nếu \(f(x)\) dần tới \(L\) khi \(x\) dần tới \(x_0\) và \(x < x_0\).
Chú ý: \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=L\) ⇔ \( \lim\limits_{x \to x_0^+ } f(x)=\lim\limits_{x \to x_0^- } f(x)=L\)
* Giới hạn vô cực:
+ \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=+∞\) nếu \(f(x)\) dần tới \(+∞\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
+\(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=-∞\) nếu \(f(x)\) dần tới \(-∞\) khi \(x\) dần tới \(x_0\).
2. Một số chú ý
*\(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2k=+∞\) \(\lim\limits_{n \to -\infty}x^2k = +\infty\)
*\(\lim\limits_{x \to +\infty}x^2k=+∞\) \(\lim\limits_{n \to -\infty}x^2k = +\infty\)
* \(\lim\limits_{x \to +\infty}x^{2k+1}=+∞\) ; \(\lim\limits_{x \to -\infty}x^{2k+1}=-∞\)
* \(\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{1}{x^n}=0\) \(\lim\limits_{x \to -\infty}\frac{1}{x^n}=0\) với \(n∈N^*\)
* Với những hàm số có giới hạn hữu hạn thì giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) sẽ bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn.
* Nguyên lí kẹp giữa: Nếu \(g(x)≤f(x)≤h(x)\) \(∀x∈K\) và\( \lim\limits_{x \to x_0 } g(x)=\lim\limits_{x \to x_0 } h(x)=L\) thì \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=L\) .
* Với những hàm số có giới hạn hữu hạn thì giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) sẽ bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn.
* Nguyên lí kẹp giữa: Nếu \(g(x)≤f(x)≤h(x)\) \(∀x∈K\) và\( \lim\limits_{x \to x_0 } g(x)=\lim\limits_{x \to x_0 } h(x)=L\) thì \(\lim\limits_{x \to x_0 } f(x)=L\) .
3.Cách tính giới hạn
Dạng \(\frac{0}{0}\): Tính \(\lim\limits_{x \to x_0 }\frac{f(x)}{g(x)} \) với \( f(x_0) = 0\), \(g(x_0)=0\).
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước \((x-x_0)\).
Dạng \(\frac{∞}{∞}\): Chia cả tử và mẫu cho số mũ bậc cao nhất của \(x\).
Dạng \(∞-∞\): Đưa về dạng \(\frac{∞}{∞}\) bằng cách nhân lượng liên hợp.
Dạng \(0.∞\): Đưa về dạng \(\frac{∞}{∞}\).
Giới hạn của các hàm số lượng giác:
\(\lim\limits_{u \to 0}\frac{sinu}{u}=\lim\limits_{u \to 0}\frac{u}{sinu}=1\)
\(\lim\limits_{u \to 0}\frac{tanu}{u}=\lim\limits_{u \to 0}\frac{u}{tanu}=1\)
Dạng \(\frac{0}{0}\): Tính \(\lim\limits_{x \to x_0 }\frac{f(x)}{g(x)} \) với \( f(x_0) = 0\), \(g(x_0)=0\).
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước \((x-x_0)\).
Dạng \(\frac{∞}{∞}\): Chia cả tử và mẫu cho số mũ bậc cao nhất của \(x\).
Dạng \(∞-∞\): Đưa về dạng \(\frac{∞}{∞}\) bằng cách nhân lượng liên hợp.
Dạng \(0.∞\): Đưa về dạng \(\frac{∞}{∞}\).
Giới hạn của các hàm số lượng giác:
\(\lim\limits_{u \to 0}\frac{sinu}{u}=\lim\limits_{u \to 0}\frac{u}{sinu}=1\)
\(\lim\limits_{u \to 0}\frac{tanu}{u}=\lim\limits_{u \to 0}\frac{u}{tanu}=1\)
Bài luyện tập chuyên sâu (Luyện tập với các cấp độ từ dễ đến khó của dạng bài này)
